THÉORÈME DE DUPIN SUR LES SURFACES ORTHOGONALES
dy 687. Lignes de courbure. — Si l'on détermine m on — - par
l'équation aux sections principales [681, (18)], on aura alors, au
point considéré M, 9 — -; et la distance des normales aux deux
points consécutifs M, M' de la section, ô' = o. Si l'on passe du point M au point infiniment voisin M', pris sur la section principale du point M; puis du point M' au point infiniment voisin M", pris sur la section principale du point M', et ainsi de suite, on obtiendra un polygone curviligne infinitésimal, qui aura pour limite le lieu des intersections successives ou Y enveloppe des sections principales. Cette courbe sera tangente en chacun de ses points à l'une des sections principales de ce point, de sorte que chaque tangente à cette courbe sera perpendiculaire à sa tangente conjuguée par rapport à sa surface, et que les normales à la surface menées en deux points de cette courbe infiniment voisins se rencontreront. Une telle courbe s'appelle une ligne de courbure de la surface.
Gomme on peut, en chaque point de la surface, tracer deux sections principales, il s'ensuit de là que par chaque point de la surface passent deux lignes de courbure, qui se coupent à angles droits. L'équation différentielle des lignes de courbure est cosô = o ou^ = o, c'est-à-dire [678, 679]
! X Y Z I .. o, ou i r/X dY dZ — o, j dx dy dz
du
dB
dy
dx
dy
dz
ou encore [679]
A dx'1 v ' z ' dx
En intégrant cette équation , après en avoir éliminé z, on aura
l'équation générale des lignes de courbure, renfermant une constante arbitraire. Si l'on détermine convenablement cette constante, on aura le système des deux lignes de courbure qui passent par un point donné de la surface.
On pourra encore obtenir l'équation différentielle des lignes de courbure, en écrivant [681] que les normales à la surface en deux points consécutifs d'une ligne de courbure se rencontrent.
On voit que les lignes de courbure d'une surface forment deux systèmes de trajectoires orthogonales, partageant, comme les lignes de niveau et de plus grande pente, la surface en éléments rectangulaires infiniment petits.
