Exemple. On aura ici
Soit la surface du second degré
ax1 -+- by* -f- es2 = k.
X = aar, Y = by, Z = .
et l'équation aux lignes de courbure devient
ax by cz
a dx b dy cdz
dx dy dz ou, en développant,
a[b — c) x dy dz + b [c — a^ydzdx -\- c[a — &) zdxdy =. o, ou, en posant,
A -f- B -f- G étant égal à zéro,
Ax dx
Bj
Cz dz
De l'équation de la surface et de sa différentielle, on tire
z dz ax dx -f- by dy
Par la substitution de cette valeur, l'équation différentielle devient
A.r B.r , C(«.r2-f- by* — k) dx dy a x dx -+- by dy
LIEU DES CENTRES DE COURBURE PRINCIPAUX. ïji
ou, en réduisanl au moyen de la relation A H- B -f- C = o, xy[ùada? + kbdyï) __ \^axi + Kbf-± C/c) dxdy r= o,
que l'on peut écrire sous la forme
xy (a -+- b/a) — (a.*:2 H- bj2 + //) j' = o.
Nous verrons plus tard [847, II] comment cette équation s'intègre.
690. Le centre de courbure de la section principale au point M est le point d'intersection des normales à la surface Ma, M'a, menées aux deux points consécutifs M, M' de la section principale, ou, ce qui revient au même, de la ligne de courbure MM'. Ces normales à la surface étant en même temps des normales à la ligne de courbure, on voit que la construction qu'il faut faire pour avoir le lieu des centres de courbure des sections principales pour tous les points d'une ligne de courbure est précisément celle qui donne une développée de la ligne de courbure [665] ; donc le lieu des centres de courbure des sections principales des divers points d'une ligne de courbure est une développée de cette ligne de courbure. Ce lieu est donc tracé sur la surface polaire de la ligne de courbure.
Le lieu des normales à la surface, menées aux divers points de la ligne de courbure, est une surface développable, dont le lieu des intersections des génératrices ou Y arête de rebrous sèment est le lieu des centres de courbure des sections principales.
Pour avoir l'équation de cette surface développable, on éliminera oc, y, z entre les équations de la normale
Ç — a? vj — y K — z
l'équation de la surface et l'équation intégrale des lignes de courbure. En y joignant l'équation qui exprime que chacun des rapports ci-dessus est égal au rayon de courbure principal R, exprimé en x,y, z, on aura, par l'élimination de z entre les cinq équations, les deux équations du lieu des centres de courbure des sections principales.
Comme nous l'avons vu, le lieu des centres de courbure princi-
paux, étant une développée de la ligne de courbure, est en même temps une ligne géodésique [666] de la surface polaire de la ligne
de courbure MM'
Si l'on considère, outre le lieu aa' . . . des centres de courbure principaux, une autre développée bb' . . . de la ligne de courbure, on pourra tendre, d'un point M de cette ligne, deux fils sur la surface polaire, s'appliquant librement sur les courbes aa'... etbb' — Si l'on déroule ces deux fils, en les tenant toujours tendus, le point d'intersection des deux fils parcourant la courbe MM'..., leur angle restera constant, et réciproquement, un fil Mbb' . . . , enroulé sur la surface polaire, et faisant un angle constant avec le fil M aa'. . ., tandis qu'on les déroule tous les deux simultanément, leur point d'intersection décrivant la ligne de courbure MM'. . , affectera nécessairement sur la surface polaire la forme d'une seconde développée de la courbe MM'. . . [666].
691. Cela posé, supposons que deux surfaces se coupent suivant une ligne qui soit pour chacune d'elles une ligne de courbure. Les lieux des centres de courbure principaux des deux surfaces, correspondants à cette ligne de courbure, seront deux développées de celle-ci. Donc les normales aux deux surfaces, en chaque point de l'intersection, feront entre elles un angle constant, et par suite ces deux surfaces se couperont sous un angle constant.
Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous un angle constant, et que l'intersection soit une ligne de courbure de l'une d'elles, la normale à l'autre surface, faisant un angle constant avec la normale à la première, tracera sur la surface polaire de l'intersection une seconde développée de cette intersection. Donc les positions successives de cette normale se rencontreront, et par suite l'intersection sera aussi une ligne de courbure de la seconde surface.
692. Si une ligne de courbure est plane, sa surface polaire est un cylindre; ses développées sont des hélices de ce cylindre, e'està-dire des courbes coupant les génératrices du cylindre sous des angles constants. Donc le plan de la ligne de courbure, perpendiculaire à ces mêmes génératrices, fait un angle constant avec la tangente à une hélice, laquelle est une normale à la surface proposée, lorsque la développée considérée est le lieu des centres de
