PROPRIÉTÉS DES LIGNES DE COURBURE. IJ
courbure principaux. Donc, lorsqu'une ligne de courbure est plane, son plan coupe la surface sous un angle constant. Cela résulte encore de ce que nous avons vu dans le numéro précédent, toute ligne tracée sur un plan pouvant être considérée comme une ligne de courbure de ce plan.
Réciproquement, si un plan coupe une surface sous un angle constant, le lieu des centres de courbure principaux correspondant à l'intersection sera une hélice de la surface polaire de cette intersection, et par suite une développée; donc les normales menées à la surface par les points de l'intersection se rencontreront, et l'intersection sera une ligne de courbure de la surface.
693. Si une ligne de courbure n'est pas plane, les génératrices de la surface polaire développée, n'étant pas parallèles entre elles, ne feront pas un angle constant avec la droite suivant laquelle se déroule la développée de la ligne de courbure, lieu des centres de courbure principaux. La variation de cet angle sera l'angle de deux axes de courbure consécutifs ou l'angle de torsion de la ligne de courbure. Donc l'angle du plan oscillateur d'une ligne de courbure avec le plan tangent à la surface varie continuellement d'une quantité égale à l'angle de torsion de la ligne de courbure.
On tire de là cette autre réciproque du théorème du numéro précédent : que, si le plan osculateur d'une ligne de courbure coupe la surface sous un angle constant, la ligne de courbure est plane, puisque son angle de torsion doit être nul.
694. Toute ligne tracée sur une sphère étant une ligne de courbure de cette sphère, on voit que, si une surface est coupée par une sphère sous un angle constant, l'intersection est une ligne de courbure de cette surface.
Réciproquement, si une ligne de courbure est sphérique, la sphère qui la contient coupe la surface sous un angle constant.
695. Si une ligne de courbure est circulaire, c'est-à-dire à la fois plane et sphérique, on pourra faire passer par cette ligne une infinité de sphères, coupant toutes la surface sous des angles constants. On pourra choisir le centre de l'une de ces sphères de manière que cet angle constant soit nul, de sorte que la sphère touchera la surface tout le long de la ligne de courbure. Les normales
à la surface le long de la ligne de courbure passeront donc toutes par le centre de cette sphère, et formeront, par suite, un cône de révolution.
696. Lignes asjmptotiques . — Considérons une surface dont l'indicatrice soit hyperbolique. En s'avançant sur la surface dans la direction de l'une ou l'autre des asymptotes de l'indicatrice, direction qui correspond [673] à une valeur nulle de la courbure, on tracera de proche en proche deux systèmes de courbes, appelées lignes asjmptotiques ou lignes de courbure nulle, analogues aux lignes de courbure. Pour la direction d'une section asymptotique, on a
— = o, 8 = o, d'où sin9=o,
ce qui donne [678, 679]
du. dx + dp dy -+- dy dz = 0, ou d~K. dx -f- dY dy -f- dZ dz = o,
ou encore
7777 dy dr2
dpdx -4- dqdy = o, r -f is — \- t——? = o.
dx dx1
On voit que, pour qu'il existe de telles lignes de courbure nulle,
il faut que l'on ait
rt— s2<o.
Exemple. — Etant donnée la surface
ax* H- by* -+- cz% = /l,
l'équation aux lignes asymptotiques sera
adx* + b dy* -+- c dz* = 0,
ce qui montre d'abord que a, b, c ne doivent pas être de même signe. Remplaçant cdz2 par sa valeur tirée de l'équation de lacourbe, il vient
(1) a[k — b j2 ) dx* -V- labxydxdy -+- b[k — ax^dy* — o, ou
(2) ï(^ + C!Ç)={xdy-ydx)\
