LIGNES ASYMPTOTIQUES

On peut toujours supposer À" positif, et, puisque l'un au moins des coefficients a, b, c est négatif, soit c positif et a négatif. On voit que b devra être positif, et par suite la surface sera un hyperboloïde à une nappe.

En différentiant l'équation (i) ou

b[k — ax*)yn + o.abxy. y' -\- a[k — b j2 ) = o,

il vient

[(/c — ax2)y -haxy]y"=o,

d'où l'on tire d'abord y"= o et par suite j'= C, ce qui est Yinlé-r grale générale de l'équation. Celle-ci devient, par la substitution de cette valeur dans (2),

équation d'un système de deux droites, qui sont les projections des génératrices rectilignes de la surface.

En égalant l'autre facteur à zéro, ce qui donne

[k — ax*\y' -f- axy = o, et éliminant jy7 entre cette équation et l'équation (3), on obtient

la solution singulière

qui, jointe à l'équation de la surface, donne z = o. C'est donc la section principale faite par le plan des xj, et à laquelle les projections des génératrices rectilignes sont tangentes.

697. Lignes géodésiques. — On nomme ligne géodésique d'uue surface, comme nous l'avons déjà dit [666], celle des lignes tracées sur la surface entre deux points donnés qui est la plus courte. Nous allons démontrer que cette ligne jouit de la propriété que son plan osculateur en chacun de ses points est normal en ce point à la surface.

Considérons, en effet, deux points infiniment voisins, pris sur une surface. Si, par la normale à la surface en un de ces points et par l'autre point, on fait passer une section normale à la surface, l'élément de cette section sera plus court que l'élément d'une section oblique tracée sur la surface entre les deux mêmes points.

H. — Cours de Cale, infin., II. I 2

Nous avons vu [544] que l'expression de la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est, en appelant h la différence infiniment petite des abscisses des extrémités de cet arc,

24 \i -\- y - j -24 ' pe

p étant le rayon de courbure au point initial. Or, pour les deux sections, la section normale et la section oblique, passant par les

deux mêmes points infiniment voisins, le facteur (î-Hjt'2)" est infiniment peu différent. De plus, p diffère infiniment peu du rayon de courbure de la section normale, laquelle fait un angle infiniment petit avec la proposée. Si donc on désigne par z l'angle de la section oblique avec la section normale, le rayon de courbure de la section oblique sera, à un infiniment petit près, pcose. Donc, en désignant par d, df\es différences entre les longueurs des arcs des deux sections et leur corde commune, on aura

â'= — — • Par conséquent, l'élément de la section normale est

le plus court. Il résulte de là qu'une ligne tracée sur une surface ne peut être la plus courte entre deux de ses points, qu'autant que son plan oscillateur est, en chaque point de contact, normal à la surface.

On en conclut [693] que, si une ligne géodésique est en même temps une ligne de courbure, elle est nécessairement plane.

698. En désignant par a, S, y les cosinus des angles de la normale à la surface avec les axes, et par a, b, c les cosinus —■> — 1

1 as as

— - des angles de la tangente à la courbe avec les mêmes axes [628],

la condition exprimant que la normale à la surface est contenue dans le plan osculateur à la courbe sera

JL = 1. = JL = L = JL

da db de d- ds

d'où

«ds = pda, fids = odb, yds = pdc.

Supposons maintenant que, par un point A de la surface, on