LIGNES GÉODÉSIQUES

mène une infinité de lignes géodésiques ; soit AB une quelconque d'entre elles considérée comme fixe, et soit rf l'angle que fait avec AB la ligne géodésique qui joint le point A à un point quelconque M de la surface. Si l'on fixe au point A l'extrémité d'un fil flexible et inextensible, et qu'en tendant ce fil sur la surface on le fasse tourner autour du point A, il coïncidera successivement avec toutes les lignes géodésiques qui partent du point A. Si l'on tend donc le fil entre A et M, la position du point M sur la surface sera déterminée par l'angle cp qui fixe la direction de la ligne géodésique AM, et par la longueur s de l'arc AM, en sorte que les coordonnées x, y, z du point M seront des fonctions déterminées des deux variables s et cp.

699. Si, à partir du point A, on porte sur toutes les lignes géodésiques une même longueur s, les extrémités M de cette longueur formeront une courbe, que nous appellerons un cercle géodésique. Soit a la longueur d'un arc de cercle géodésique BM, compté à partir d'un point fixe B; cet arc sera une certaine fonction de <p et de s.

Désignons par )., p, v les cosinus des angles que fait la tangente au cercle géodésique en M avec les axes. Pour un point M', pris sur ce cercle à une distance infiniment petite de M, on aura

dx = \ de, dj = ij. da, dz = v dcr.

Donc, en remarquant que ces valeurs de dx, dy, dz sont les différentielles partielles de x, y, z par rapport à cp, s restant constant sur le cercle géodésique, on aura

dx dv dj d<r dz d(7

Si l'on fait maintenant varier x, y, z sur la même ligne géodésique AM des différentielles partielles dsx, dsy, dsz, les dérivées

. „ dx dy dz , , . 7 , ,

partielles -c-j -^-? -v représenteront les cosinus a, b, c des angles 1 os os os x °

que fait la tangente à la ligne AM en M avec les axes. Par conséquent,

dx dx dy âr dz dz . . , .dcr .,,.,, à<r

ds df ds df ds df df df

l8û LIVRE III. — CHAP. II, § VI.

En appelant T le premier membre de cette équation, on a

dT d2x dx d2 y dy d%z dz dx d^x dy d2r dz d

ds ds2 df ds2 âf ds2 df ds ds df ds ds df ds ds df d2x dx d2 y dy d2; ds2 df ds2 df ds'2

On a d'ailleurs, par le numéro précédent,

*.« + &* + Z* + ^[ffi+i»y+igfi.

d2x da « d2r __ db __ S d%z de y ds2 ds p ds1 ds p ds* ds p

d'où l'on tire

d2x dx d2y df d2z dz i . da cosNMM' da

MN étant la normale à la surface en M. L'autre terme de -r-j qui

est égal à - DT (a2 +è2+c2), est aussi nul ; donc

et par suite la fonction ï conserve la même valeur pour tous les cercles géodésiques de rayons différents décrits du centre A, lorsqu'on se déplace sur un même rayon géodésique; cette fonction ne peut donc dépendre que de 9.

Or, si l'on fait tendre s vers zéro, a tend aussi vers zéro, quel que

soit cp. On a donc, pour s = o, — = o, et par suite aussi T = o.

Donc, pour s = o, on a, quel que soit 9,

da cosAMM'- -t- =0.

Cette quantité, étant indépendante de s, sera donc toujours nulle,

quel que soit 9, pour toute autre valeur de s. Donc, — ne pouvant

être généralement nul pour s différent de zéro, il faut que l'on ait, quels que soient s et 9,

cos AMM ' = o , d'où AMM' = - •

LIGNES GEODESIQUES. l8l

Donc un cercle géodésique est, en chacun de ses points, perpendiculaire à son rayon géodésique.

700. On peut démontrer géométriquement ce théorème. Soient deux lignes géodésiques infiniment voisines AM, AM' {Jig- 68),

Fig. 68.

sur lesquelles on a pris des longueurs égales AM = AM'. Je dis que les angles AMM' et AM'M sont droits. Supposons, en effet.

qu'ils diffèrent de - de quantités finies. Les angles que fait MM'

avec les lignes géodésiques infiniment voisines AM, AM' ne pouvant différer entre eux qu'infiniment peu, la somme des angles AMM', AM'M diffère infiniment peu de tc, et par suite, si l'un de ces angles est aigu, l'autre est nécessairement obtus. Soit

M'-— w, co étant un angle fini. Menons un arc MP, perpendiculaire à MM', d'où M'MP = -, M'MA étant > -. Le triangle

infinitésimal M'MP ayant l'angle MPM'= tt — - — ( - — g>\ = w,

on a

MP = M'Pcosw< M'P,

la différence étant infiniment petite du premier ordre. Donc, puisque AM= AM',

AP + MP < AP + M' P, ou AP 4- PM < AM,

et par suite AM ne serait plus la ligne la plus courte entre A et M. Donc , si AM = AM' sont des lignes géodésiques égales, l'angle M'MA ne peut différer d'un angle droit.

l82 LIVRE III. — CHAP. II, § VI.

701. Ce théorème est un cas particulier d'un autre plus général, qui se démontre de la même manière, en changeant la signification d'une seule quantité. Soit une ligne quelconque AA' [fig- 69) > tracée sur la surface. Menons en tous ses points des

Fig. 69.

lignes géodésiques PM, perpendiculaires à AA', et prenons sur ces lignes, à partir de AA', des longueurs constantes PM = P'M'= — Le lieu des extrémités M de ces longueurs coupera à angles droits toutes les lignes géodésiques PM. En effet, si l'on désigne par s la longueur PM, par cp la distance AP, et par a l'arc BM, on pourra répéter les mêmes calculs qu'au n° 699. Or, pour 5=0, l'angle BMP se confond avec le supplément de APM, et par suite il est droit; donc cet angle est droit aussi, quel que soit s.

Si l'on suppose que AA' soit un cercle géodésique infiniment petit, on retrouvera la proposition précédente.

702. Nous avons vu [682] que les normales menées à une surface S le long d'une ligne de courbure C ont pour lieu une surface développable D, dont l'arête de rebroussement est le lieu T des centres de courbure principaux.

En chaque point M de S se coupent deux pareilles surfaces développables D, D'. Leur intersection est la normale à S au point M, et elles se coupent orthogonalement, comme les deux lignes de courbure correspondantes C, G', qu'elles contiennent respectivement.

Le lieu des arêtes de rebroussement F est une surface composée de deux nappes 2, S', correspondantes aux deux systèmes T, V de développées des deux systèmes de lignes de courbure C, C.

Pour avoir l'équation de ce lieu S, soit R un des rayons de courbure principaux, exprimé en fonction de x, jr, z. On portera la longueur R sur la normale, et les coordonnées £, y], £ du centre de courbure principal seront données par les équations

LIEU DES CENTRES DE COURBURE PRINCIPAUX. l83

Entre ces trois équations et l'équation de la surface, on éliminera x, y, z, ce qui donnera l'équation de celle des deux nappes 2, 2' qui correspond au rayon R. En remplaçant R par l'autre rayon R', on aura l'autre nappe.

Si S est une surface développable, l'une des deux nappes 2, 2 s'en va à l'infini.

703. Deux normales à la surface en deux points consécutifs de C sont tangentes aux développées T\, T'2 des deux courbes C'j, C, de l'autre système qui passent par ces points, et de plus ces normales, se rencontrant, sont dans un même plan. Ce plan est donc tangent à la nappe 2', sur laquelle sont situées ï"j et I",. De même le plan normal, tangent à C, est tangent à la nappe 2. Donc, suivant chaque normale à S, se coupent deux plans tangents, l'un à 2, l'autre à 2', et rectangulaires entre eux.

Si l'on place l'œil en un point de cette normale, on verra donc les contours apparents des deux nappes 2, 2 'se couper à angles droits sur le prolongement de cette normale. Donc, de quelque point de l'espace que l'on regarde ces deux nappes, on verra leurs contours apparents se couper à angles droits.

La section principale tangente à C, étant tangente à 2', est normale à 2. Or elle contient deux tangentes consécutives à T, et par suite elle détermine le plan oscillateur de cette courbe. De là résulte que T, ayant son plan oscillateur normal à 2, est une ligne géodésique de cette surface. Donc les développées, lieux des centres de courbure principaux pour les diverses lignes de courbure, sont des lignes géodésiques de la surface (2, 2').

Supposons un fil tendu librement sur une des nappes 2, 2'; il prendra la forme d'une ligne géodésique, qui sera une ligne T, si son plan oscillateur en un de ses points est tangent à une certaine ligne C. En déroulant ce fil, tenu toujours tendu, on tracera la ligne G. Si l'on tend ce fil successivement suivant toutes les lignes T, on décrira toutes les lignes C, et par suite la surface entière.

Si les nappes 2, 2' se touchent en un point, ce point correspondra à un ombilic de S. Si 2 et 2' se touchent suivant une ligne, il y aura sur S une ligne d'ombilics ou ligne de courbure sphérique. Ce dernier cas aura lieu lorsque les équations a2 = o, (84=0

[685], qui déterminent les ombilics, se réduisent à une seule en vertu de l'équation de la surface.

704. Pour chaque ombilic ou pour chaque point d'une ligne de courbure sphérique, nous avons vu que l'équation

a2 m2 + («! — f9 ) m — pi = o

se change en une identité. Pour voir ce que deviennent alors les directions des sections principales, cherchons ce que devient, à la limite, cette équation pour le point (oc -f- dx, y -f- dj, z -f- dz). On a, à cause de k2 = 3,1 — /32 = ]31 = o,

( a ) . da2 . m1 -+- ( dv.x — d$% ) m — d3i — o,

et comme, en divisant par ax, chacune des quantités —r- ■> ; — — >

1 x dx dx.

-y-i prend la forme Az/z + B, il s'ensuit de là que l'on aura, pour

déterminer wz, une équation du troisième degré, qui aura trois racines réelles ou une seule. Donc par un ombilic il passera généralement trois sections principales ou une seule.

Lorsqu'il y a une ligne ombilicale, on a, pour chaque point de cette ligne, a2 = o, a,— (32 = o, (3,-0. Donc, pour la valeur

de — qui correspond à la tangente à cette ligne, on a aussi da2 = o,

dtx\ — dft2 = o, d$\ = o, et par suite l'équation («) est vérifiée en

cly

prenant pour m cette valeur de — -• Donc une ligne ombilicale est,

en chacun de ses points, tangente à une section principale.

Soit, par exemple, la surface du second degré, considérée au

ax- -+- by- -+- cz2 = k.

L'équation aux sections principales

( B a dy* — Ab dx2 ) xy + [ A b x2 — B ay~ — (a — b ) ck~\ dx dy = o

donne par différentiation, en remarquant que les termes en d2x, d2j disparaissent en vertu des conditions qui rendent l'équation identique,

[Bady2 — A b dx} ) d ( xy ) — i(kbxdx — Baydy^dxdy = o,

SECTIONS PRINCIPALES POUR UN OMBILIC. j85

ou, en faisant^ = o [686, II],

^j'(A&j'2-f-Ba) = o,

c'est-à-dire, en mettant pour A, B leurs valeurs,

abxy'\[ci- c)/2+(ô — c)]==o,

équation qui n'admet d'autre solution réelle quej^'= o. Donc la ligne de courbure unique se confond avec la section principale; ou plutôt l'une des lignes de courbure devient la partie de la section principale de la surface comprise entre les deux ombilics O, O' situés au-dessus du plan des xy, ou entre les deux ombilics 0\ , 0\ situés au-dessous ; tandis que l'autre ligne de courbure se confond avec la partie 00, ou O'O^. La première est la limite des lignes de courbure qui, dans l'ellipsoïde, se- projettent suivant des ellipses; la seconde est la limite des lignes de l'autre système, à projections hyperboliques [708].