Théorème de Dupin. — Pveprenons le calcul qui nous a
dx
ds
donné [678] l'angle de déviation dty de la normale. Les cosinus -—•>
— 5 — se rapportent à la direction qui va du point M [x, y, z) au point M'(x-f- dx, y -f- dy, z -f- dz). Le signe de la quantité
S=zts/X"2-HY2 + Z2 a été déterminé de manière que les cosinus
se rapportent à celle des deux directions de la normale qui s'étend d'un certain côté de la surface, choisi une fois pour toutes. Dès lors les différentielles dx, dfi, dy auront des signes déterminés, et il en sera de même de l'expression
cosô
doi ds
dx
dp
dy
dx
dy
dz
L'angle 9 sera celui que fait la direction MM' de la tangente à la
section normale considérée avec la direction de la tangente conjuguée MM", cet angle étant compté positivement dans un sens déterminé, par exemple dans le sens correspondant à une rotation de la droite vers la gauche d'un observateur ayant la tête placée du côté de la surface vers lequel on prolonge la normale.
Si l'on fait maintenant tourner d'une manière continue le demidiamètre MM' de l'indicatrice, dans le sens direct, par exemple, en allant de l'axe des x vers l'axe des j', le demi-diamètre conjugué MM" tournera également d'une manière continue, dans le même sens MM' ou en sens contraire, selon que l'indicatrice sera elliptique ou hyperbolique. De plus, il est aisé de voir, dans les deux cas, que, lorsque MM' parcourt successivement les quatre quadrants déterminés parles axes principaux, l'augle 0 devient alternativement aigu et obtus, et change d'espèce en passant d'un quadrant à l'autre. Ainsi 8
sera droit quand l'angle cp de MM' avec l'une des sections principales
q aura pour valeurs o, -■> it, — ; il sera aigu (ou obtus) pour cp compris dans le premier ou dans le troisième quadrant, obtus (ou aigu) pour <p compris dans le deuxième ou le quatrième quadrant.
Lorsque cosÔ est positif, la normale M' N' [676] se projette sur le plan tangent en avant de MM'; lorsque cosô est négatif, elle se projette en arrière de MM' ( ' ). Donc le changement de signe de
a p y du dp dy dx dy dz
indiquera un changement de position relative de la normale M'IN' par rapport au plan de la section NMM'.
706. Si l'on rapporte la surface au plan tangent et au plan des deux sections principales, pris pour plans coordonnés, l'équation
(') En effet, MM" est parallèle [675] à l'intersection BB' (fig. 67, n° 676) des plans P, P' tangents en M et en M'. Si l'on supiîose d'abord le plan P' appliqué sur le plan P, puis qu'on ramène P' à sa première position, en le faisant tourner autour de BB', la projection d'un point N' de M'N' se déplacera alors suivant M'B', et, par conséquent, passera au dedans ou au dehors de l'angle M'AB' ou M' M M", suivant que cet angle sera aigu ou obtus.
