THÉORÈME DE DUPIN

de l'indicatrice sera [673], z étant constant,

rx1 + ty- = iz.

En faisant — = tangç, le coefficient angulaire du diamètre conjugué

du diamètre MM' qui répond à l'angle cf sera

dy rx r tangy' = -- = , d ou tangy tangy = 1

/ , \ ^tangffl -h r cota? tange = tang(y'— ?) = 2 I 1,

I ( r — £ ) sin 2 <b cosfl-

yV2 cos2cp -h fi sin2 y On a d'ailleurs [679], à cause de /j> = </ — o et de .9 = o;

do = sjdp1 -+- dq- ■=. ^//-2 dx' -f- fi dy1 = ds y/;-2 cos2 çp -h fi sin"2 o.

Donc

c/iL .— cos 6 do ■= ds sm2<p.

Celte formule fait voir que non-seulement dty change de signe,

comme nous l'avons déjà vu, lorsqu'on fait croître cp de-? mais

encore qu'il reprend la même valeur absolue, ds étant supposé le même dans les deux cas. Donc, si l'on mène, tout le long d'un cercle infiniment petit, de centre M, tracé sur la surface, toutes les normales à cette surface, les déviations des normales correspondantes à deux sections rectangulaires entre elles seront égales et de signes contraires.

707. Gela posé, considérons trois surfaces S,, S2, S3, se coupant orthogonalement au point O. La normale à chacune d'elles sera tangente à l'intersection des deux autres. Soient OT|, OT2, OT3 les trois tangentes à ces intersections. Prenons sur leurs directions trois longueurs infiniment petites égales entre elles,

OT1r=OT2 = OT3=r^.

Au point T2 de l'intersection de S3 et de S,, menons les normales

T2N3, T2N'1 à ces deux surfaces, et soient (a3, j33, y3), {ocyJ fi\, y\)

l88 LIVRE III. — CHAP. II, § VI.

(fig- 70) les cosinus des angles que ces normales font avec les axes OT\, OT2, OT3. L'angle de T2N3 avec OT4 est, au signe près, le complément de l'angle d^s, que fait la normale T2N3 avec le plan de la section normale T2 OT3 faite dans la surface S3. On a donc ± d<^z = cos(N3, T., ) = a3. De même, la déviation de la normale N'j à la surface S, par rapport au plan de la section T, OT2 sera ± d^\ = cos (N\ , T3 ) = y\ .

Il s'ensuit de là que les deux cosinus a3 et y\ seront infiniment petits du premier ordre. 11 en sera de même de (33 == cos(N3, T2)

Fig. 70.

etdeft == cos(N',, T2). Enfin, les angles (N3, T3), (N',, T\ ) étant infiniment petits, on a, aux quantités près du second ordre,

73 = otx — 1 .

Si l'on suppose maintenant que les surfaces S3 et Sj se coupent or thogonalement tout le long de leur intersection OT2 , les normales T2N3 et TolY, satisferont rigoureusement à la condition de perpendiculaire

qui devient, d'après ce qui précède, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

En supposant que la même orthogonalité ait lieu le long des autres intersections OT3, OT,, on trouvera, en permutant circulairement les lettres et les indices, les deux autres relations

Pl + «'i = 0) 72 +