THÉORÈME DE DUPIN

OrN'( et N, sont deux normales à S,, correspondantes à deux sections rectangulaires entre elles. Donc les dty correspondants sont égaux en valeur absolue. De plus, si N', est en arrière, par exemple, du plan T\ OT2, N| sera en avant du plan T, OT3 ; de sorte que les deux angles (N,, T3), (N{, T2) seront tous les deux obtus ou tous les deux aigus. Donc les cosinus /,, (32 de ces angles sont égaux et de même signe. On a donc

y\ = Pi, et de même «', = y2, P3 — K3-

En éliminant/,, a.,, j3'3 entre ces équations et les précédentes, il vient

«3 +(3i = o, piH-7a = o, 7, -f-a3 = 0,

d'où l'on tire

a3 — j3x = y2 = o, et par suite ks = (3'3 = 7^ = 0.

Donc tous les 6?^ sont nuls; par conséquent, les trois sections OT\, OT2, OT3 sont des sections principales sur les surfaces qu'elles rencontrent.

On en conclut immédiatement ce théorème :

Si trois familles de surfaces se coupent orlho gonalement tout le long de leurs intersections mutuelles, ces intersections seront des lignes de courbure pour chacune des surfaces.

708. Exemple. — Soient les trois surfaces homofocales du second degré

X« \* — b* 1* — cs

où l'on suppose A2 ^> c- ^> p.2 ^> b- ^> v2. Si l'on considère deux de ces surfaces, les deux premières par exemple, les cosinus des angles que font leurs plans tangents avec les plans coordonnés

sont respectivement proportionnels à

et à

(u2 y? — b1 cl — [j?

Or, si l'on retranche la première équation de la deuxième, il vient

et, X étant supposé différent de p., la quantité entre parenthèses devra s'évanouir en chaque point de l'intersection de ces deux surfaces. Mais l'équation obtenue est précisément la condition de perpendicularité des deux plans tangents. Donc les deux surfaces sont orthogonales tout le long de leur intersection mutuelle. Il en est de même de chacune de ces deux surfaces , considérées avec la troisième.

Il en résulte, en vertu du théorème que nous venons de démontrer, que chacune de ces surfaces trace des lignes de courbure sur les deux autres, par rapport à celles-ci et par rapport à ellemême.

Ainsi, pour chaque système de valeurs de \x et de y, les surfaces (Hj) et (Ho) tracent sur (E) deux lignes de courbure orthogonales entre elles. Si l'on fait varier [A, on aura toutes les lignes de courbure de l'un des systèmes; si l'on fait varier v, on aura toutes celles de l'autre système.

Il s'ensuit de là que, si l'on donne une surface du second degré à centre, un ellipsoïde par exemple, représenté par l'équation

or? y% s2

où A2 ^>B2 ^> G2, on identifiera son équation avec l'équation (E), en posant

W = A\ bi = Ai— B2, c2 = A2— C2,

et alors les équations des deux systèmes de lignes de courbure de l'ellipsoïde s'obtiendront en combinant son équation avec l'une ou

MESURE DE LA COURBURE DES SURFACES. 1QI

l'autre des équations

\j? et v2 étant deux constantes arbitraires, telles que l'on ait A2 — C2 > a2 > A2 — B2 > v2 > o.