Nous avons pris pour mesure de la courbure d'une courbe

plane le rapport — [552] de l'angle de contingence à l'élément

d'arc. On peut représenter la valeur de l'angle de contingence par la longueur de l'arc intercepté, sur un cercle de rayon = i, par deux rayons de ce cercle, menés parallèlement aux normales aux deux extrémités de l'arc ds^ dirigées de la concavité vers la convexité de la courbe. Si l'on établit donc, au moyen de ces normales, une correspondance entre chaque point de la courbe et les points du cercle de rayon — i , on pourra définir la mesure de la courbure d'une courbe comme la limite du rapport des deux arcs infiniment petits correspondants, pris sur le cercle de rayon = i et sur la courbe.

Si le sens de la concavité de la courbe vient à changer, le sens du mouvement du point du cercle correspondant à un point mobile dans un sens constant sur la courbe changera en même temps, et nous avons vu qu'à ce changement de sens correspond un changement de signe de l'expression de la courbure.

710. Considérons maintenant une surface courbe S, et un élément superficiel dS entourant un point M de cette surface. Si par le centre d'une sphère E, de rayon = 1, on mène des rayons parallèles aux normales en tous les points de l'élément dS, chaque rayon déterminera sur la sphère un point correspondant à un point de la surface S, et ces points de la sphère rempliront un élément

dL entourant le point p correspondant à M. L'analogie conduira dès lors à choisir pour mesure de la courbure de la surface en M la limite du rapport

1 ~" dS'

On peut prendre pour d$ un triangle infinitésimal, ayant pour sommets trois points de la surface infiniment voisins M, M', M/7; alors dYj sera le triangle déterminé par les trois points correspondants [jl} //, p." de la surface sphérique. En effet, on peut décomposer un élément d'aire quelconque en éléments triangulaires, et, comme la limite du rapport de deux éléments triangulaires correspondants de S et de S ne dépend que des coordonnées d'un des sommets M sur la surface S, cette limite sera évidemment la même pour le rapport des deux sommes de triangles.

711. Si la surface S est uniconcave au point M, c'est-à-dire si ses deux sections principales ont leurs concavités tournées dans le même sens, alors les rayons de la sphère, menés dans le même sens, à partir du centre, que les normales à S dirigées vers la convexité de cette surface, détermineront un triangle pp! p."-. qui aura son plan parallèle à celui du triangle MM'M", et qui, de plus, sera tel que les deux contours MM'M" et [J. p' pf/ seront parcourus dans le même sens.

Si, au contraire, la surface S est à indicatrice hyperbolique, on pourra prendre pour MM' et MM" deux directions correspondantes à des sections ayant leurs concavités de sens contraires. Alors, si les normales en M et en M', qui déterminent le côté [J.[xr du triangle sphérique, sont situées d'un certain côté de la surface S, celles qui détermineront l'autre côté pp." devront être l'une le prolongement de la précédente normale en M, et l'autre, la normale en M" située du même côté de S que ce prolongement, et l'on voit dès lors que les deux triangles MM'M" et p.p' p" auront leurs sommets disposés en sens inverse. On peut le voir plus clairement en supposant que MM' et MM" soient les sections principales de la surface, et considérant que les points de rencontre des normales en M' et en M" avec la normale en M sont situés de côtés différents de la surface.

Enfin, si la surface S est développable, en prenant toujours pour

MESURE DE LA COURBURE DES SURFACES. Ig3

MM', MM" deux sections principales, l'une de ces sections MM' sera la génératrice rectiligne ; les normales en M et en M' seront parallèles, et par suite \i! se confondra avec u. ; le triangle f*///^' sera donc nul, et par conséquent la mesure de la courbure sera égale à zéro.

Si nous exprimons maintenant, sous forme de déterminants, les surfaces des deux triangles dS, <i2 au moyen des coordonnées de leurs sommets projetés sur un même plan, les expressions donneront les deux surfaces avec le même signe ou avec des signes contraires, suivant que les deux triangles auront leurs sommets disposés dans le même sens ou en sens contraires. De là il résulte que le rapport k de ces expressions sera positif ou négatif, suivant que la surface S aura ses deux courbures principales de même sens ou de sens contraires. La surface sera dite d'après cela une surface de courbure positive ou de courbure négative. Une surface cléveloppable sera une surface de courbure nulle.

712. On peut facilement trouver, par la Géométrie, une expression de la mesure de la courbure. En prenant, comme tout à l'heure, le triangle MM'M" dont deux côtés sont les sections principales, MM' sera égal au rayon de courbure principal correspondant R, multiplié par l'angle de contingence, lequel est représenté par le côté [i^ du triangle sphérique cCL ; donc MM' = R . [J.\)! , et de même MM" = R'.p-jU.", R' étant l'autre rayon de courbure principal. D'ailleurs il est aisé de voir que le triangle pu! p" est rectangle aussi bien que MM'M". Donc le rapport des surfaces de ces triangles est