CHAP. II, § VII
Pi h
rt
713. Établissons maintenant ces résultats analytiquement, en même temps que leur indépendance de la forme de l'aire dS, et le signe de la valeur de k.
Soient
(x -+- dx, y 4- dy, z -f- dz) les coordonnées du point M',
(x -h- dx , y -i- dy , z -h dz) celles du point M".
L'angle du plan tangent en M avec le plan des xy ayant pour
cosinus y, la projection de l'aire du triangle sur ce plan sera ydS.
On aura donc
dx d) o.ydS
rh
ijr
Les coordonnées des points [xr, p!' étant (a -h dot,. . . ), (a-f-&x, . . . ), on aura de même, pour le double de la projection du triangle dT, sur le plan des xy,
2 y dl =
dot
Sx
dp
sp
On a d'ailleurs, par les équations (i) du numéro précédent,
do. = a.xdx -+- x-2dy, dp = p^dx -f- P%dy, Sx = ul$x + x% Sy, §p = p4 Sx -4- p, Sy,
d'où l'on tire, par la règle de la multiplication des déterminants
dx dy
Sx Sy
On en conclut l'expression (2), indépendamment de la forme du triangle MM'M". On voit aisément que le même résultat subsiste encore pour une forme quelconque de l'aire infinitésimale dS.
On reconnaît, par les formules précédentes, que le signe de la mesure de la courbure k varie avec celui de rt — s2 ou avec celui de RR', ce qui confirme ce que nous avons annoncé au n°711.
dx
dp
Sx
sp
ft
MESURE DE LA COURBURE DES SURFACES. ig5
714. Supposons actuellement que les trois coordonnées x,y, z soient exprimées au moyen de deux variables indépendantes quelconques u, v, qui pourraient, si l'on voulait, devenir égales kx et à y. Indiquons, pour abréger l'écriture, par des accents supérieurs les dérivées partielles prises par rapport à u, et par des accents inférieurs les dérivées partielles prises par rapport à v, de sorte que l'on ait
dx = x du -h ,r/ dv, dy = y' du -+- y, de, dz = z' du -+- ztdv.
L'élément d'une courbe tracée sur la surface sera donné par l'équation
ds2 = dx} 4- dy* + dz2
= ( x'2 -h y'2 + z'2) du2 -f- 2 [x'x, -hy'y, + z'zf) dudv -h [xf -h y? -+- z; ) dv2 .
En posant
F — x'xt + y'yr -+- z' zn
la valeur de ds2 prendra la forme
ds2 = E du2 + 2 F rfa rfV + G dv2 .
715. Considérons la surface S comme la limite d'un polyèdre articulé, dont les faces seraient formées par des triangles infiniment petits tracés sur la surface, et ayant pour côtés les divers éléments ds. Si l'on déforme le polyèdre, en faisant tourner les divers triangles autour de leurs côtés comme charnières, on obtiendra pour limite une nouvelle surface, dans laquelle x,jr, z seront d'autres fonctions des variables indépendantes u, v, fonctions que l'on choisira de manière que les points correspondants des deux surfaces se rapportent aux mêmes valeurs de u et de v. Par exemple, si l'on prend, sur un cylindre, pour u et y les longueurs comptées sur une génératrice et sur un arc d'hélice, coupant cette génératrice sous un angle donné, ces deux longueurs ne varieront pas, lorsqu'on déformera le cylindre en l'étendant sur un plan.
Les triangles élémentaires ayant leurs côtés invariables, il faut
que la nouvelle expression de ds-,
ds* — E' di£ -h 9, F' du dv 4- G' dv\
soit identique à l'ancienne, quels que soient du, du. Il faut pour cela qtie l'on ait, pour toutes valeurs de u et de v,
Donc, si l'on vient à déformer une surface, et que les coordonnées rectangulaires x, y, z soient exprimées au moyen des variables u, v, dont les valeurs sont attachées aux divers points de la surface et restent les mêmes pour chaque point pendant la déformation, les trois fonctions E, F, G, qui entrent dans l'expression de l'élément linéaire de ds, ne changeront pas de valeurs par l'effet de la déformation.
Réciproquement, si, pour deux surfaces S, S', dont les coordonnées sont exprimées au moyen des deux variables indépendantes u, v, les fonctions E, F, G de u et de v, qui servent à exprimer l'élément linéaire, sont les mêmes pour tout système de valeurs de u et de v, les côtés des triangles infinitésimaux qui joignent les points correspondants des deux surfaces seront égaux; donc ces surfaces sont les limites de deux états d'un même réseau polyédrique; elles sont donc déformables l'une dans l'autre, ou, comme on dit ordinairement, elles sont applicables l'une sur l'autre.
716. Nous allons maintenant démontrer que la mesure de la courbure ne change pas non plus par la déformation de la surface, et pour cela il suffira de faire voir que cette quantité peut s'exprimer au moyen des seules fonctions E, F, G et de leurs dérivées par rapport aux variables u, u.
D'après ce que nous avons vu [643], les cosinus ce, (3, y des angles de la normale avec les axes sont proportionnels aux quantités
de sorte qu'en posant
MESURE DE LA COURBURE DES SURFACES
on aura
et par conséquent
^ X ^ Y Dv- Dr-
les dérivées DT, Dr étant prises en faisant varier tout ce qui dépend de x et de y.
Si l'on considère maintenant x, y comme fonctions de u, u, on aura, pour deux fonctions quelconques f{x,j), <p(x,j'),
D„ y = .r' Dx y -h y Dr y, D„ y —-xf Dx y + JT, D r y ,
d'où [313]
Dc? •*, y,
Donc, à cause de
Or on a, en faisant dX. = IL' du -4- Xfdv, etc.,
