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MESURE DE LA COURBURE DES SURFACES. 201

Donc la mesure de la courbure ne dépend que des fonctions E, F, G, qui ne changent pas quand on déforme la surface par simple flexion, sans extension ni contraction des lignes tracées sur cette surface. Donc la mesure de la courbure n'est pas altérée par une telle déformation de la surface.

719. Nous allons maintenant donner une interprétation géométrique des quantités E, F, G, au moyen desquelles nous avons exprimé l'élément linéaire et la mesure de la courbure.

Supposons que l'une des variables u et v, v par exemple, reste constante, u variant seule. Si l'on élimine u entre les trois équations qui donnent x, y, z en u et u, il restera deux équations entre x, y, z et la constante v, qui représenteront une courbe, que nous désignerons par v == (3, (3 étant la valeur constante attribuée à v. De même, u = const. — a sera l'équation d'une autre courbe, tracée aussi sur la surface.

En donnant à v différentes valeurs constantes v --— v, V\, Uo, ■ ■ • , on a une série de courbes, que nous désignerons par (p-), (v'i), (vo), .... De même, en donnant à u les valeurs constantes u, us, un, . . . , on aura une série d'autres courbes {u), ( z/;, ), («2)>

Fig. 71.

Pour une courbe [v], on a dv~o, et par suite l'élément linéaire MM, (fig. 71) se réduit à

MMi = dus = \JË.du.

Pareillement, pour une courbe (u), du = o, et l'élément linéaire sur cette courbe se réduit à

MM2 = dvs= s/G. do.

Soit maintenant MM' la diagonale du parallélogramme infinitésimal, compris entre deux lignes (m) infiniment voisines et deux lignes (v) infiniment voisines, et soit w l'angle M<MM2 de ce parallélogramme. Nous aurons

MM'2 = MM* + MM2 +2MM,.MM,.cosm) c'est-à-dire

ds* = E du* -4- 2 F du dv + G dv* = E du* H- G dv* + i v/ËG . du dv cos »,

d'où l'on tire

COS w = 5

et, partant,

i/EG — F2

sin» —

v/EG

Si l'on désigne par 6 l'angle de ds avec la ligne (V), et que MI soit la projection de ds sur cette ligne (v), on aura

MI = ds cosS — MM, H- MtI = dus -+- dvs cos»,

ou, en mettant pour dus, dvs, cosw leurs valeurs,

Erf« + F* ds cos S = —

De même,

M' I = ds sin 5 = MM, sin » = - — ^ dV.

720. Si les deux lignes (u) et (ç>) se coupent à angles droits, l'angle w= -■> d'où coso) = o, et par suite F = o. Donc la quantité F est nulle, toutes les fois que les lignes u = const. et les lignes v = const. forment deux systèmes de trajectoires orthogonales.

Alors les formules précédentes se simplifient, et l'on a

ds = \/Edu* -t- G de2, dus = ds cosd = du. y/E, dvs = ds sinO = dv . y/G.

COORDONNEES CURVILIGNES ORTHOGONALES.

La mesure de la courbure est donnée par l'équation

c'est-à-dire

4— [er-ig •

La valeur générale de l'élément superficiel MM( M'M2 = dS est

( 4 ) dS = dusdvs sin w = <r/w r/e y EG — F2 , expression qui se réduit, dans le cas de l'orthogonalité, à

(5) dS = dudv^/ËG.

721 . Les lignes de courbure d'une surface formant deux systèmes de lignes orthogonaux entre eux, on pourra prendre ces systèmes pour ceux des lignes u = const., y= const., et leur appliquer les formules simplifiées du numéro précédent.

Exemple. — Soit une surface du second degré, un ellipsoïde, représenté par l'équation

Nous avons vu [708] que les lignes de courbure de cette surface sont déterminées par ses intersections avec les deux hyperbo-

loïdes homofocaux

de sorte qu'elles peuvent être représentées par les deux systèmes d'équations u = const., v — const.

Pour exprimer x, y, z au moyen des variables u, v, il faut résoudre les équations (i) et (2) par rapport à x2, y'2, z2. Or le déterminant

devient, en retranchant la première ligne verticale de chacune des deux autres,