II'1 C

Pc* Pc*

'as«V ~ a*«V A"

A| étant précisément le numérateur de la valeur de x-. Donc

Pc*

On trouverait de même

.2 __ ir~ - b*) («S — 6') (fe'— •■*) s {^- — c*)[c* - "2

Pic*— P

Il est aisé de vérifier, au moyen de ces expressions, que l'intersection de deux quelconques de ces surfaces est une ligne de courbure de chacune d'elles. Considérons, par exemple, l'intersection de l'ellipsoïde avec l'hyperboloïde à une nappe u = const. On aura,

APPLICATION A l' ELLI PSOI DE. 205

v étant seul variable,

bc.dx = lu de,

v clv

b y/c* — 62 . f/j == — y/ A2 — 62 yV — b2 ,

\Jc- — b*.dz = —'\J 1- — c2 \jc*~ — e2 r^r=

y c- • — l'- Or l'équation aux lignes de courbure de l'ellipsoïde est [689]

dx df dz

son premier membre devient, en y substituant les valeurs précédentes de x, y, z, dx, dy, dz,

Donc zj = const. est une ligne de courbure de l'ellipsoïde X == const. ; et de même pour les autres intersections.

Cherchons maintenant la mesure de la courbure de l'ellipsoïde en un point quelconque. L'équation aux rayons de courbure principaux [(383, (23)] donne [712], pour l'expression générale de cette

mesure,

1 ri — s"2

RtRj = (/>s-hgfa+i)*'

Or on a, pour l'ellipsoïde ( 1),

d'où

1 if- z pq -+- zs

yi + >^2 + )^r^'' = 0' T^r^ = °'

>8 bt -+- y. ci + );2 c2 * — °'

ar 1 (à3 — c2).r2

zs

(X2 — c2 ) xy

On en tire, en réduisant au moyen de l'équation (i

D'ailleurs,

;^ + tf»+I) = -,- , ,

# étant la distance du centre au plan tangent en (x, y, s). Donc enfin

RjR^ ■ l*(r-— è2)(À2— c2)

On voit par cette formule que la mesure de la courbure est constante en même temps que la distance B. Elle est donc constante le long d'une même polodie ( * ).

On a maintenant à \J A2 — b'1 y/A2 — c- — â2 ^R{ R2, de sorte que

le volume de l'ellipsoïde peut être exprimé par- nô* \JR\ R2-