ETUDE DE L HELICE

puis

( 3 ) dx = — jr cfc, dy = x dt, dz = b dt ,

d'où l'on conclut

dy x.

dx, y

ce qui exprime que la projection de la tangente sur le plan des xy est perpendiculaire au rayon de la base du cylindre. En faisant

on a (2)

ds* = ( j9- + x* -4- 62 ) <fr2 = c2 rfr2 — ~ dz\

d'où

La tangente à l'hélice fait donc un angle constant avec le plan des xy.

723. On a, d'après cela, pour la longueur de l'arc de la courbe,

s — <r0 = - ( z — z0 ) = ( z — z0 ) séctf,

3" étant l'angle constant de la tangente avec l'axe des z. Les cosinus des angles de la tangente avec les axes sont

„. dx y dy x dz b

a.y c ds c ds c

Les équations de la tangente étant / /■ \ ? — •* » — J ? — «

on aura, pour l'équation du plan normal, en effaçant les termes qui se détruisent,

(7) —y%-hxy-hb(-<; — z) = o,

et, pour l'équation générale du plan tangent [629],

En écrivant que ce même plan est également tangent au point de la courbe infiniment voisin {x-hdx, y -+- dy, z -f- dz) , il

vient [634]

(fa + *:(^1)-|& + l[-4r-^{t-„ + -

ou, à cause de dx — — — dz, dy = - dz,

[x+\jr)[Z—z)'==o,

ou enfin, en supprimant la solution étrangère £ — z = o,

Eliminant 1 entre cette équation et l'équation (8), on a, pour l'équation du plan oscillateur,

(9) -jÇ-t-tfïj — ~(% — z) = o.

En combinant les équations (7) et (9) du plan normal et du plan osculateur, on a les équations de la normale principale

qui représentent le rayon du cylindre mené par le point {oc, y, z). Autrement, les formules du n° 657, combinées avec les valeurs (5), donnent

f/rcos) = — ■ — dt, dTCOSii = — — dt. dTCOSv = o, c c

d'où

C03À = 1 cos« = •> COSV = O, V=-j d- = — dt,

ce qui conduit aux équations (10) de la normale principale. De