ÉTUDE DE L HÉLICE. 2(K

plus, on a

ds c2

Donc le rayon de courbure de l'hélice est constant.

Le centre de courbure est l'intersection de la normale principale (10) avec le plan normal au point infiniment voisin

(,r -+- dx, y -h dy, z -f- dz),

ou, si l'on veut, l'intersection du plan osculateur (o,) avec deux plans normaux infiniment voisins, ou avec leur intersection, qui est l'axe de courbure. La différentielle de l'équation (7) est, en vertu de (3),

([2) — .rÇ — vti — b2 = o.

En la combinant avec (7), on a les équations de l'axe de courbure

Ces équations, jointes à l'équation (9), donnent les coordonnées du centre de courbure. Il revient au même de combiner les équations (10) et (12), ce qui donne

Les coordonnées du centre de courbure sont donc

(14 1 = cos?, u = sin^, Ç — ut,

,et l'on voit par là que le lieu des centres de courbure est une hélice de même pas que la proposée, et que l'on obtient en prolongeant chaque normale principale au delà de l'axe, de la quan-

• , P tite — a

La distance de deux centres de courbure consécutifs, ou l'élé-

H. — Cours de Cale, in fin., II. I-i

ment d'arc de cette hélice (14) est donc

, „, bc ,

( 1 5 d<i — — dt.

Pour avoir l'équation de la surface polaire, lieu des axes de courbure (i3), on n'aura qu'à éliminer t entre les équations de cet axe; ou bien, en désignant par u la valeur commune des trois rapports (i3), on aura les coordonnées de cette surface, exprimées (643) au moyen des deux variables indépendantes t, u,

(l6) Ç = -(x~uj), r,= -{jr-hux), % = z-hbu.

724. Les cosinus des angles du plan osculateur avec les plans

i , , by bx a . ,, . ,

coordonnes étant '—■> — ? — ■ —■> on en tire, pour i anele de

ac ac c l

torsion [660],

*=i/('rf^V+û-V+(rf-V=-^

d'où le rayon de torsion

ds

ce rayon est donc constant, comme le rayon de courbure.

Le centre de la sphère osculatrice s'obtiendra en combinant les

équations de trois plans normaux infiniment voisins, savoir les

équations (7), (12) et

r\ — xr, = 0.

Ces trois équations donnent pour £, r,, £ les valeurs (i4)« Donc le centre de la sphère osculatrice coïncide, dans l'hélice, avec le centre de courbure.

Le lieu des centres de la sphère osculatrice est donc identique avec le lieu (14) des centres de courbure. Cela résulte immédiatement de l'équation (5) [663],

dv1

qui se réduit àR = (o, toutes les fois que p est constant ; alors la dis-