ETUDE DE L HELICE

tance — du centre de courbure au centre de la sphère osculatrice

dit L

est nulle.

La tangente au lieu des centres de la sphère osculatrice n'est autre chose que l'axe de courbure (i3) de l'hélice proposée, comme il est aisé de le vérifier. Donc le lieu de ces tangentes, qui coïncide avec la surface polaire (i6), est le lieu des tangentes à une hélice (i4) • c'est donc un hélicoïde développable.

725. Nous aurons les équations générales des développées de l'hélice, en combinant les équations (16) de la surface polaire avec une des équations [667]

Ç — or. r, — )• 'C — z

d\ dr, dÇ

qui expriment que la tangente à la développée rencontre la courbe

proposée. rLn prenant la première de ces équations — — — := — —— •>

b2 et faisant, pour abréger, -- = S, il vient (16)

d% = §[( y H- (u] dt -+- y du], dr, = — %\[x — UX) dt "+" x du] ,

d'où

— ■ (j -\- S)x H- Suy — [i-hS)y — Zux

[y ■+■ u x ] dt -+- y du — [x — uy \ dt — x du

— (i-f-6)(J:a4-.rs) g(.r2 + Y- ) u

(*» h- j2 ) „ dt ~ {x* + J2 ) ( dt + du) '

ou enfin

u dt dt -+- du

On tire de là

du „ v c b .

dt = — z-z — > d ou « =" — T tang - U 4- C ,

G étant une constante arbitraire. Cette équation, jointe aux équations (16), détermine les développées de l'hélice.