SÉRIE ET INTÉGRALE DE FOURIER
1182. Les formules établies dans le paragraphe précédent permettent de développer en série périodique convergente toute fonction d'une variable complexe ou réelle qui est uniforme et continue dans la partie du plan comprise entre deux parallèles données, et qui a pour période une constante quelconque, pourvu que Ton connaisse toutes les valeurs de cette fonction dans Tétendue d'une période, valeurs au moyen desquelles on peut calculer avec une approximation indéfinie les intégrales qui déterminent les coefficients de la série.
Nous avons pu, par un choix convenable de variables, ramener à une forme entièrement réelle le développement d'une fonction réelle de la variable complexe z. Mais cette réduction a été obtenue en particularisant un développement de forme complexe, et elle est fondée sur l'intégration d'une fonction d'une variable complexe le long d'un contour donné. Elle ne peut donc s'appliquer qu'à une fonction F{p) pouvant être définie comme fonction d'une variable complexe re^'", ce qui n'est généralement possible que pour les fonctions analytiques.
Toutefois, Fourier a établi que les développements réels du paragraphe précédent sont susceptibles d'une grande extension, et peuvent s'appliquer à toute fonction, analytique ou non, F(x), périodique par rapport à la variable réelle p et définie par la seulo connaissance de toutes ses valeurs dans l'étendue d'une période, pourvu que cette fonction satisfasse aux conditions suivantes :
I® Qu'elle soit susceptible d'intégration (');
7? Qu'elle n'ait pas, dans l'étendue de la période, un nombre infini de maxima et de minima;
3® Que, dans le cas où sa valeur varie brusquement, elle prenne
('} I.a définition que nous avons donnée [231 et suit.] d*uae intégrale définie 110 pourrait plus s'appliquer au cas, par exemple, où la fonction à intégrer serait déterminée par la propriété de prendre une valeur constante a pour toute valeur rationnelle de la variable, et une valeur constante différente à pour toute valeur irrationnelle de cette même variable.
H. — Cours de Calcul hifin., IV. 2
l8 LIVRE VI. — CHAP. II, § III.
une valeur moyenne entre les valeurs-limites, prises de part et d'autre de la discontinuité.
Nous allons démontrer que, pour toute fonction F(x) satisfaisant à ces conditions, la formule (4) du paragraphe précédent subsiste, c'est-à-dire que l'expression
F(Ç)^[-j4-cos(ç — ^] -i-cos2(Ç — j-j-t- . . .-h cos/w(Ç — x)]
converge, pour m infini, vers la limite F( x).
1183. Commençons par chercher la limite, pour n infini, de l'intégrale
h désignant un nombre positif £-> cty(f) une fonction de f, que
nous supposerons d'abord constamment ^/zte, continue et non croissante lorsque t varie de o à A, c'est-à-dire telle que l'accroissement y(i H- e) — f(t) soit infiniment petit avec e, et de signe contraire à e s'il n'est pas nul.
Remarquons d'abord que, dans les limites assignées à la va-
riable t, le rapport — : — conserve toujours une valeur finie, quel
que soit /i, et qu'il tend vers la limite n pour t =o. Mais ce rap-
port n'est pas toujours de même signe. Soit, en effet, — le plus
grand multiple de - qui soit contenu dans h ; partageons l'intervalle h en intervalles partiels égaux chacun à -» à l'exception du
dernier h y qui sera-cT!-' Les valeurs de sinnt qui eorres-
pondent aux valeurs de t comprises dans les inter\'alles successifs
entre
TT TT 9.7r (v iItT Vit ^«" ^ •
o et ~> - et — > •••> et — 9 — et A
SÉRIE DE FOVRIER. I(>
seront de signes alternativement positifs et négatifs; Il en sera de
même des valeurs de l'expression f{t) —. — > et par suite des intégrales de cette expression correspondantes à ces mêmes intervalles. Si l'on désigne donc par Uo, Ut, . . . , u^ les valeurs absolues de ces intégrales, le signe de l'une d'elles u^ sera celui de ( — i)*.
De plus, il est aisé de voir que ces valeurs absolues Uo, Ui, . . • , Uky • . . vont en décroissant à mesure que l'indice k augmente. Si
l'on remplace, en effet, dans i/*, t par t-{ — » pour ramener u^ aux mêmes limites que u^^i , on aura
An
En comparant cette intégrale à
on a, par hypothèse,
Donc l'élément de l'intégrale Uk est moindre que l'élément correspondant de ma i, et, par suite, ua<^ma«|.
Pour les deux dernières intégrales u^| et u^, à la diminution de l'élément en passant de la première à la seconde se joint encore la
