VÎT TT
diminution de l'Intervalle des limites, h étant ^ -• Donc,
a fortiori, u» <[ u,^ .
20 LIVRE VI. — ClIAP. Il, § III.
IIS^. Étudions maintenant de plus près Fintégrale de rang k^
,-,)'..=/ " /loi?*.
Des deux iacteurs f{t) et -^: — qui composent la fonction sous
le signe y, et qui sont Tun et Tautre continus entre les limites de l'intégrale, le second conserve un signe constant entre ces limites. Donc, d'après la formule établie au n® 283, VI, la valeur de l'intégrale Il fi est, au signe près, égale à l'intégrale du second facteur, multipliée par une valeur moyenne du premier facteur, de sorte
que, en désignant paryi une moyenne entre y ( — | et/N U
on aura
fo\ I M. y r " n'in rit
La nouvelle intégrale dépend de A" et de /i, et sera du signe ( — i)*. Désignons-la par ( — l)*^yA, et cherchons vers quelle limite elle tend lorsque, k restant invariable, n croît indéfiniment. Pour
cela, remplaçons t par-^ il viendra
n smn
et, comme wsin-j pour n infiniment grand, diflere de r d'une fraction infiniment petite de lui-même, l'intégrale ( — i)*^a aura avec l'intégrale
JkTt
un rapport infiniment peu difl'crent de l'unité, et, sin- étant
SÉRIE DE POURIER. 21
moindre que -> ce rapport sera de la forme i — e, e étant un Infiniment petit positif.
Jr»oo gjj^^ — ^rfr a une valeur o '
finie, égale à -• On peut la partager, comme nous l'avons fait,
pour rintégrale (a), en un nombre infiniment grand d'autres intégrales, prises entre les limites respectives
o et TT, TT et OITT, ..., /-TT et (/• -h IJTT, ...,
el qui seront précisément les intégrales que nous venons de dési-
' — -' ch sera la limite
de la somme de la série infinie
laquelle, par suite, sera convergente et aura pour limite-*
Les termes de celte série allant toujours en décroissant, il résulte d'une proposition connue que la somme Z^ des h premiers
termes sera inférieure ou supérieure à la limite -» suivant que k
sera pair ou impair, et qu'ainsi cette somme difliérera de - d'une quantité moindre que le terme suivant 9^.
H85. Revenons maintenant à l'intégrale (2), et cherchons à déterminer la limite vers laquelle elle converge, lorsque n croît indéGniment.
Quand n croîtra, les intégrales partielles m* changeront de valeurs, en même temps que leur nombre augmentera. Soit N un nombre entier, indépendant de /i, et que, pour plus de simplicité, nous supposerons impair. Le nombre v, qui croît sans cesse avec/i, finira par surpasser N, quelque grand que soit celui-ci.
Cela posé, partageons la somme i/o — ii|-t-M2 — ••• d deux groupes, dont l'un contienne les N -f- i premiers termes, et l'autre tous les termes suivants. Le premier groupe sera, par la formule (3),
(4 ) /«-^o— /i-^i +/i-^t— . . • — /%-^ïf»
elle second, dont le nombre des termes croîtra avec n, sera
Il est facile d'obtenir la limite de la somme (4) pour n infini. En effet, les quantités yi, ft, • • », fy, étant respectivement comprises en Ire les limites
convergeront chacune versy(o). D'autre part, les quantités Sq, Si y ..., 5j| convergeront respectivement vers Gq, Ct, .. , (7^^. Donc la somme (4) aura pour limite
On peut donc la représenter par
d étant un infiniment petit positif.
Considérons actuellement la somme (5), composée d'un nombre indéfiniment croissant de termes. Ces termes étant alternativement positifs et négatifs, et chacun d'eux étant numériquement moindre que le précédent, la somme sera, quel que soit le nombre des termes, positive et moindre que son premier terme. Elle sera donc moindre que la limite de
laquelle est moindre que celle dey ( 0)9^^1 augmenté d'un infiniment petit positifs. Donc l'intégrale (2), somme des deux groupes (4) et (5), finira par différer def(o).^ji d'une quantité numérique- «lent moindre que î-+-y(o)o'N + t+e, î et e étant des infiniment
petits. D'autre part, £<« diffère de - d'une quantité moindre que
C7.N4-1- Donc l'intégrale (2) finira par différer de -f{o) d'une quanlité moindre que
<J -h t -4- ^/(o)crji^,.
Or, la série ^o — ^< 4- o^a — • • • étant convergente [H84], il en résulte que son terme général doit être Infiniment petit pour un indice infiniment grand. Donc on peut choisir N assez grand pour que cFy^i soit moindre que toute grandeur donnée. Donc Tinté- ^rale ( 2 ) finira toujours, pour ?i croissant indéfiniment, par différer
aussi peu que Ton voudra de -f[o). On aura donc
H86. La démonstration s'appliquant aussi au cas o\iJ{t) se réduit à une constante c, on aura
, . i- / sinnt , ir
il) hm I c —, — dt=z -c.
Si maintenant la fonction décroissante /*(t), au lieu de rester constamment positive depuis t = o jusqu'à t = h^ devenait négative dans une partie de l'intervalle ou dans l'intervalle tout entier, on pourrait choisir une constante c assez grande pour que la fonction c+f{t) ne cessât pas d'être positive, et par conséquent pour que le théorème lui fût applicable. On aurait alors
En retranchant de cette équation l'équation {7), on retrouverait encore la formule (6).
Supposons enfin que la fonction f{t) soit croissante depuis ^ = 0 jusqu'à t= h. Alors — f(t) sera une fonction décroissante, et, par suite,
convergera vers la limite f{^)i à' oh l'on conclut que la for-
mule (6) est encore vraie pour le cas dey(t) croissante.
Donc le théorème exprimé par l'équation (6) est vrai pour toute fonction y (f) assujettie à la condition de rester continue pour
toute valeur de f, depuis « = o jusqu'à f = A^ -» et, de plus, de
rester, dans cet intervalle, toujours décroissante ou toujours croissante, à moins qu'elle ne conserve une valeur constante dans une partie ou dans la totalité de Tintervalle.
H87. Soit maintenant g un nombre compris entre o et h, et supposons que la fonction soit donnée seulement entre t=g et t = A, et qu'elle remplisse, dans cet intervalle, les mêmes conditions qu'elle devait remplir tout à l'heure entre o et h. L'inté-
grale
fit
(8) rvc)'-^
convergera, pour n infiniment grand, vers une limite que l'on pourrait trouver directement en suivant la môme marche que ci-dessus. Mais il est plus simple de ramener ce cas au précédent. La fonctiony(^) n'étant donnée qu'entre g et /i, rien n'empêche de compléter la série de ses valeurs depuis t = o jusqu'à t = gy en supposant que, dans cet intervalle, la fonction varie dans le même sens qu'entre g et A, ou, plus simplement, qu'elle reste constamment égale à sa valeur y ( g' ) correspondante kt = g. Alors le théorème (6) sera applicable à chacune des deux intégrales
qui convergeront chacune vers cette yaleur -f{g). Donc Tinté-
grale (8), qui est la différence des deux précédentes, convergera, pour n infini, vers la valeur zéro.
Donc, si g et h sont deux nombres tels que l'on ait
et sif[t) est une fonction continue et variant toujours dans le même sens depuis tr=. g jusqu'à t = h (à moins qu'elle ne reste constante dans une portion quelconque de cet intervalle), l'intégrale (8) tendra, pour n croissant à l'infini, vers la limite zéro, si g n'est pas
nul; mais pour g = o elle tendra vers la limite -/"(o).
Si la fonction y(«) présentait des solutions de continuité pour les valeurs 1^= g, t = /i, de sorte que, e étant un infiniment petit positif,y(g' — e) elf[li — e) n'eussent pas les mômes limites respectives que /(g'-f- c) ety(/i -h e), il faudrait remplacer, dans ce qui précède, y^(o) par la' limite Aef[-h c), que nous désignerons, pour abréger, pary(4- o). Il n'y aurait, du reste, rien à changer, pourvu que les valeurs àef[t) correspondantes aux discontinuités ne fussent pas infinies.
1188. Nous avons supposé jusqu'ici que la ionction/'(f)ne présente, dans l'intervalle Ae t=. g kt-=.h, aucune valeur singulière, c'est-à-dire qu'il n'y ait aucune valeur de t pour laquelle elle devienne discontinue ou qui corresponde à un maximum ou à un minimum de cette fonction.
Supposons maintenant que, entre g et Zi, il existe des valeurs t^ , t^y . . . , f ,ii qui correspondent à des discontinuités ou à des changements de sens de l'accroissement de f{t). Nous partagerons
l'intégrale / en intégrales partielles, prises chacune entre deux
Jo
valeurs singulières consécutives :
La première de ces intégrales a pour limite zéro ou -^(-f- o),sui-
vant que g sera ou non différent de zéro. Toutes les autres seront nulles, d'après le numéro précédent. Donc, enfin, le théorème démontré ci-dessus subsistera, quelle que soit la marche de la fonction y(f), pourvu que les valeurs singulières y soient en nombre fini et qu'ainsi la fonction soit intégrable.
1189. Nous pouvons maintenant passer à la détermination de la limite, pour m infini, de l'intégrale
(.) Lr-^.(>)Sin(..-f-i)(g--x)
En posant
rintégrale deviendra
Tt X
- I F .r-f- li]-- — dt^
intégrale de même forme que celle que nous venons d'étudier, à cela près que les limites sont différentes. Nous allons, par décomposition, la ramener à des intégrales dont les limites soient comprises dans l'intervalle de o à -•
1^* Supposons d'abord o<^x<i'n' On décomposera l'intégrale
en
(a). On a d'abord, en vertu de la formule (6), pour la première intégrale,
