DEVELOPPEMENT EN SÉRIES PERIODIQUES. IC

et de signes contraires, leur somme deviendra

^ Jo

Donc le développement d'une fonction de e'/*, synectique pour toute valeur de Tangle j? et périodique par rapport à cet angle, la période étant 27r, sera de la forme

'^^ F(y>;.=^^'"F(y)rfy + l 2 /'"f (?)<=«'"'(/' -f)'^?-

n ss t

Si Ton remplace dans (3) les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en cosinus et sinus, ou, ce qui revient au même, si Ton développe, dans chaque terme de (4), la valeur de cosw(/;-7-cp), on aura une série de la forme de celle du n° H74, où les coefficients a/i, (3,2 auront pour valeurs

^ Jo

^ Jo

Dans le cas où F[p) est une fonction réelle de la variable réelle />, le développement devra avoir ses coefficients a„, jS;, réels, et, par suite, les coefficients primitifs «„, a n devront être des quantités complexes conjuguées. En les mettant sous la forme

OÙ Cfl, yn sont des quantités réelles, Tensemble des deux termes correspondants de la série deviendra

tf„^'"'^4-<ï-„<r-»'>=2c„cos(/î/>-f-7« .

Le développement pourra donc s'écrire ainsi :

(5) F[p] =Co-hi ^c,,cos{np -i-y^)

H76. Pour indiquer un exemple du cas que nous venons de

traiter, considérons la question du développement, suivant les co* sinus et les sinus des multiples de Tanomalie excentrique, d^une puissance impaire négative de la distance d'une planète à un point fixe.

Si Ton désigne par p cette anomalie excentrique, par H, K, a, G des constantes dépendant des éléments de Forbite et de la position du point fixe, le carré de la distance en question se présentera

sous la forme

A'=:H-4-Kcos(/> — «) -+ Geosi/y.

La fonction A''", fi étant un nombre entier positif et impair, bien qu'étant obtenue par l'opération de l'extraction de la racine carrée, qui donne lieu à deux déterminations, pourra néanmoins, comme nous le verrons plus tard, être considérée comme uniforme et continue dans l'étendue d'une aire qui ne contient aucun zéro ni aucun infini de cette fonction, et par suite aucun point-racine de l'équation A^ =o.

Or une discussion facile montre que les racines de Téquation A^ = o, qui est du quatrième degré par rapport à e'P^ sont de la forme

ae'^, -£?'•, b^^, je-\

a^ b étant, ainsi que 6, des constantes réelles, et pouvant être supposées telles que l'on ait

La valeur de A^ pourra ainsi s'écrire

On se propose maintenant de développer suivant les puissances de z = &P la fonction

cl il s'agit de reconnaître a priori si ce développement est possible.

Le module de z étant égal à l'unité et les modules des racines de

DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES. l3

Féqualion A^ = o satisfaisant aux inégalités

le point z sera toujours compris dans l'intervalle de deux cercles

décrits de l'origine comme centre, avec les rayons a et -> et cet

intervalle ne contiendra aucun zéro ni aucun infini de la fonction F(/;). Donc le développement proposé sera toujours convergent et sera de la forme de la série (5) du numéro précédent.

1177. Sous la forme que nous avons donnée au développement (i) dey(c -h re^P) =F{p), la variable p est supposée n'admettre que des valeurs réelles, et la période 27r de la fonction est aussi réelle. On peut transformer ce développement en un autre qui représente une fonction d'une variable complexe, ayant pour période une constante complexe quelconque.

Posons

iv étant une nouvelle variable et X une constante arbitrairement clioisie, réelle ou complexe.

La fonction y(2) =F(w) ne changeant pas de valeur lorsque p croît de 27r, et par suite w de X, F[w) sera une fonction périodique d'une variable complexe fv, ayant pour période une quantité quelconque X.

En faisant ces substitutions dans la formule (i), on obtiendra pour F(çv) un développement suivant les puissances ascendantes et descendantes de l'exponentielle

et dont le coefllicient a,f sera donné par la formule

l4 LIVBB VI. — CHAP. II, § II.

en posant

a TIW

et remarquant que, p étant constant dans Tintégration, on devra aussi considérer j^ = log - comme une constante.

On aura alors un développement de la forme

(ait iw 4iïitv

F(m') = «0-*- ^1« * 4- «2^ ^ -h... \ ' I 1 9.Tiw < r. I iv

H78. Par suite du changement de la variable, le contour de Taire dans laquelle était renfermée la variable z va changer de forme. Voyons par quelles lignes seront remplacés les deux cercles qui limitaient primitivement cette aire.

Pour cela, voyons quel lieu décrit le point w quand le point joe'? décrit un cercle de rayon p. Si Ton pose

l'équation —^ = o -h i;j donne, en égalant les parties imagi-

naires,

rsm(p-ô):^ — X = — log-,

équation qui est, par rapport aux coordonnées polaires r, p, l'équation d'une droite parallèle à la droite qui va de Torigine au point i. Donc le cercle de rayon p se change en une droite menée à la distance

h 1= — loff-

de l'origine O et parallèle à la droite OX.

De même, siz©, z^ sont les points de discontinuité dey(c) par lesquels passent les deux cercles de centre c, et Wq^ W\ les points de discontinuité correspondants de la fonction F(w), les deux cercles seront remplacés par deux droites passant par ces points Wa, W\y parallèles à 0\ et situées aux distances

27r ^Rû * 2ïr ^Ri

DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES. l5

de rorîgine. Donc Taire de convergence comprise entre ces deux cercles se trouve remplacée par Taire indéfinie comprise entre les parallèles en question, et la fonction F(fv) sera développable sous la forme (7) pour tout point w de la bande limitée par ces parallèles.

Tandis que les valeurs de z correspondantes aux diverses valeurs p -T- ^ki: de Targument se recouvraient en un seul point, les valeurs w -H Al de la nouvelle variable formeront, pour les divers nombres k, une suite de points équidistants, situés sur une même parallèle à OA.

H79. Dans le cas de X réel, on a 0 = o, et OX coïncidera avec Taxe des x. L'aire de convergence sera alors une bande comprise entre deux parallèles à cet axe. On peut passer du cas de X complexe à celui de X réel, et vice versa, par une simple rotation de Taxe des x, en multipliant w et (ù par er^'^.

H80. Si Ton remplace la quantité ;f par sa valeur —7-» et que l'on fasse, de plus,

?= — la valeur (6) du coefficient a„ deviendra

.,= ijrV(Mi±iU).=î^"-'V

Eu transportant Taxe des x parallèlement à lui-même, on pourra amener Torigîne O entre les deux parallèles limites," sur la droite intermédiaire située à la distance h de Torigine primitive, et Ton devra alors remplacer h par zéro, ce qui donnera la formule plus simple

ou, en supposant, de plus, X réel et d = o, (10) a,= ljF(l)e~''^'*d^.

lO LIVBB VI. — GUAP. II, § II.

iw

Dans ce dernier cas, le terme a/,e ' prendra la forme

anr

Cl le développement pourra s'écrire, d'une manière analogue à la série (4),

Dans les formules précédentes, qui déterminent la valeur générale des coefficients Un du développement, on peut remplacer les limites o et / par d'autres dont la différence soit égale à la grandeur / de la période. Il suflit pour cela de remplacer (v et ^ par

ce qui revient à déplacer l'origine sur l'axe des x» En posant alors F(<v) =F| («/), la formule ( 10 ) devient

d'où

ff = X

H81 . Lorsqu'on voudra obtenir le développement def[z) pour un point z situé en dehors de l'intervalle des cercles menés parles points Zq, Zx, par exemple dans l'intervalle des cercles menés par le point Z\ et par le point de discontinuité suivant z% dans l'ordre des distances à c, on de\Ta donner à p une autre valeur, comprise entre les distances ci^ , cî^, et substituer cette valeur dans l'expression (2) de fl/i.

De même, lorsqu'on voudra développer F(<v) pour un point kv situé en dehors des parallèles à OX menées par çvo et vV|, et compris, par exemple, entre les parallèles menées par w% et le point de discontinuité suivant w^j on donnera à A, dans la formule (8), une nouvelle valeur comprise entre les distances /i< , /ij de «Vi, sv^ à O)..

SéRIB DE POURIBR. 17