ï r\., ^ sinnt , I

lira- / F(-c-i-2r)-: — £// = - F(x4- o).

Pour j: = o, cette valeur se réduit à

(j3). En changeant t en tt — t, la deuxième intégrale /

devient , pour o: > o,

,. I r^^f \ sinnt -

lim - / F(x -i-27r — ar) -, — €f/ = o;

pour X = o, cette valeur se change en

(y). Pour la troisième intégrale l , si l'on change ^ en — /, il

vient

hm-/ F(x-2/ -5— rf/ = -F{x-o),

valeur qui, pour x = o, doit être remplacée par zéro Donc, pour x'^o, l'intégrale aura pour valeur

pour x = o, elle deviendra

a" Si l'on a 7r<^j:<[27r, en remplaçant x par 27r — a/ y t par ■/, l'intégrale deviendra, pour o <^ j/<^7r,

sitini ,

sint

et, en décomposant cette intégrale comme dans le cas précédent, on trouvera, pour les trois parties :

(a). jF(27r — j/ — o) = 'jF(j: — o) pourx<[air, et-j F(27r — o) pour x= 27:;

((3). La valeur zéro pour .r <^ 27r, et ■jF(-|- o) pour x = 21c ;

(7). 7F(x -f- o) pour X <^ ^'^y et zéro pour x = 27r.

Donc, pour x<^ 2 7r, l'intégrale a encore pour valeur

28 LIVRB VI. — CH4P. II, § m.

et, pour x = aTT,

F(-t.o) -uFflTT — o]

3** Pourx de grandeur quelconque, on ramènera sa valeur entre les limites o et 27r par Taddition ou la soustraction d'un multiple convenable de air, ce qui n'altère ni la fonction F(.r), qui est supposée périodique et de période a7r, ni la série limite de Tin tégrale.

H90. Donc, quelque valeur que Ton donne à .r, la série trigonomélrique

/î =■ ao

- cos.r / F(;) cos5^/; 4- cos2.r / F(5) cosaç^/ç -h . . . j