sin.r 1 F[ï)sin5r/i 4-sinax / F(?) sinaÇi'/ç

aura pour valeur F(x) si cette fonction est continue dans le voisinage de la valeur X, et-[F(j: — o) -hF(x -4-o)] si x est une

valeur de discontinuité de F(x). Il en sera encore de même pour X = o, puisque l'on peut, en vertu de la périodicité, remplacer F (an — o) par F( — o).

Si donc on donne à F(x), entre a:=o et x = a7r, une suite arbitraire de valeurs, représentable par un arc de courbe de forme quelconque, pourvu qu'il soit composé de parties continues et que les discontinuités, ainsi que les maxima et minima, y soient en nombre fini, la série (9) représentera l'ordonnée de cet arc entre les abscisses o et air, et, en dehors de ces limites, elle représentera une suite, indéfinie dans les deux sens, d'arcs identiques au premier. Seulement, pour chaque point de rupture de \a courbe, la série représentera la moyenne arithmétique des deux ordonnées correspondantes à ce point.

La série (9) étant de même forme que la série (4) du n** 1175, on pourra, par un changement de variable combiné avec un changement d'origine, lui faire subir les transformations réelles que nous avons exposées dans le paragraphe précédent, et y remplacer ainsi la période 2 7r par une période réelle arbitraire /, puis les limites o et / par d'autres limites quelconques — /o et / — /q.

1191. Donnons quelques exemples d'applications de la série de Fourier.

I. Soit F(a:) = cosj!jij:. Cette fonction étant paire, le développement ne contiendra que des cosinus [1174]. Si l'on suppose la fonction donnée entre x = — tt et a: = -4- tt, le coefficient a^ du développement [1175] aura pour valeur [449]

a,j=- I cosa? cos/i|^/ç =ir - / cosaj cos//;r/Ç