tx s\n aiz cofk f? Tz , . 2a sinuir

TT fA* «* ' ' Tt y} /i*

avec

sinaTT

' cos.r -f

On aura donc

sin ezTT / 2 u* 9. a*

cosaa: = '- — l H — cos.r H -* — -, cos2.r

^Tz \ a*— I p*-4

d'où, en faisant a: = tt.

cos

sin UTT / 9 'j} 9. a' \

UTT = ^ 1 -\- ~ h -^'— -f- . . . )

ou, en posant juitt = u,

COttt = - ( I -i r H 7— T -f- . . . h

u\ ur — TT* u* — 4^ /

développement convergent quel que soit u.

En intégrant les deux membres de cette égalité, passant ensuite des logarithmes aux nombres, puis déterminant la constante arbitraire par la condition

,. sin//

hm = I,

3o LIVRE VI. — CRAP. II, § III.

on'a le développement de sinu en produit infini, Si l'on Y fait i/ = -j la formule deviendra

II. Soit F(x) = x^ la fonction étant donnée entre les limites — TT et +7r. Cette fonction étant impaire, le développement ne devra contenir que des sinus, et le coefficient général sera

p„=:- Pïsin/iÇ^ = (-i)«~».3.

On aura donc

a:z=:2(sinx sinaj: -f- -sin3x — . . . 1 .

Cette série représentera, entre les limites — n et -hff, l'ordonnée de la portion correspondante de la bissectrice de l'angle des axes positifs. Dans les intervalles suivants, de -H ir à -+-37r, de 37r à + Stt, . . . , et de même dans la direction opposée, la série représentera l'ordonnée de la même portion de bissectrice que l'on aurait transportée parallèlement à elle-même le long de Taxe des X à des distances 27r, 4^? •••• Pour les abscisses mêmes ± r, dr Stt, . . . , la série représentera les points correspondants de l'axe des x.

III. On donne le contour d'un trapèze isoscèle OABC, dont la base OC = a est située sur l'axe des x, l'angle AOC = BCO

étant égal à 4» et la hauteur du trapèze étant b. On veut représenter l'ordonnée de ce contour par une série trigonométrique, en supposant qu'il se reproduise identiquement tout le long de l'axe des x, la fonction ajant, par conséquent, a pour période et étant une fonction paire. On prendra alors la série des cosinus, avec les formules

SERIE DE FOURIER. 3l

Pour effectuer les intégrations, on décomposera chaque intégrale en trois parties, séparées par les abscisses b ci a — i, de sorte que

r,,--j i Çcos </Ç-4- I ^cos ^^-h I (« — Ç)cos 'di\

= -/ Çcos 'di-\ / cos -€Ï%

^ Jo « ^ Jb ^'

r= — sm h -T-r^ cos 1 ),

ib . innb

— sm . ,

avec

Si Ton suppose ja=^by le trapèze se réduit à un triangle et les expressions des coeflicients se simplifient. Il vient alors

la ia

d'où

. . lafiz^ I ^.ttj: I 67r.r \

En faisant a: = o, on aura la formule

TC* 1 I ï

IV. Si, au contraire, on suppose que les trapèzes soient situés alternativement au-dessus et au-dessous de Taxe des x, la fonction F (a:) sera impaire, et l'on devra prendre la série des sinus. La période de la fonction sera alors a a, et les intégrales devront

être prises entre les limites — a et H- a. La fonction F(Ç) sin -^ étant paire, on aura, pour cette fonction [4f60],

Donc la valeur générale du coefficient ^n sera

= -| / Çsin — ^r/Ç-h / ^sin — ^^/ÇH- / a — Ç sin r/J I

«L^o "^ Jb « Ja-^b « J

valeur qui s'annule pour n pair, et qui, pour n impair = am -+- i , devient

^ /'f . f 9. /» -f- 1 ^ TT /i»

Donc le développement cherché sera

F .r == -î-r- ( sm — sm h — sm sm

^ tt' \ a a 6^ a a