itb . Stt

-h ^r sm sm-

5* tf

TT.r \ h.. . ).

Pour a = ai, les trapèzes se réduisant à des triangles, on a

^, , \^ l » "f^-^ t . 3 TT.r I . 57r.r \

F .ri = — - sm ^ sm -h ^T^m . . . ).

^ ' Tt* \ a àr il 5' a J

1192. Extension de la série de touvier aux fonctions de plusieurs variables, — SoitF(a:, j^) une fonction de deux variables indépendantes X, j^, périodique par rapport à chacune de ces deux variables, et supposons d'abord que les deux périodes soient l'une et l'autre égales à 27r. On aura, en développant d'abord par rapport à la variable x.

aîr

En développant maintenant la fonction F(Ç,^^) par rapport à la variable j^, on aura de même

F(|,j)=^ r ''¥[l,x),h-^'-'^r'¥[l,x)œsn{,i-x),lT..

SÉRIE DE FOURIBR. 33

Sgubstituant cette valeur dans le développement précédent, on aura

F(^,r) = ^//F(ç,^)eZÇrf^

^■51//F(5,>î)cos/7i(Ç-x)«??rfi,

-i ^fJ^[^^^)^o^'^\^ ^jr)didn

aTT

in = «e /! = «

toutes les intégrations étant faites entre les limites o et 2 7r.

On passerait de là aisément au cas où les périodes relatives aux deux variables x,y auraient des valeurs quelconques.

Il est facile de voir comment on poursuivrait cette extension dans le cas d'un nombre quelconque de variables.

1193. Intégrale de Fourier. — Soit F(x) une fonction toujours finie entre les limites — / et + /, et telle que l'intégrale

Y[x)da:

tende vers zéro lorsque la valeur numérique commune / des deux limites croît indéfiniment. Nous avons, entre a: = — / et x = -h /,

En supposant l = co ^ il vient, d'après l'hypothèse,

limi- p F(Ç)«?ç = o,

et la valeur de F(x) se réduit à

limj2 r'F(Ç)cos"-:iil^^.

n=l H. — Cours de Calcul înfin., IV. 3

34 LIVBE VI. — CHAP. Il, § m.

Lorsqu'on passera d'un terme de cette somme au suivant, n croissant d'une unité, le coefficient — croîtra de la quantité infiniment

petite -9 et la somme des n premiers termes croîtra, par l'addition de ce ( 71 + 4y*mo terme, de la quantité

Si donc on considère

^X/ F(Ç)cos[^(5-x)]e^

comme une fonction ^(fA) de la quantité

l'accroissement de la somme des n premiers termes sera la quantité infiniment petite

Or la limite d'une pareille somme n'est autre que l'intégrale

Donc, en remettant pour f (fx) sa valeur, on aura

F[a:)=l. j d^JL I F(Ç)coSfx(Ç — Jc)^?.

La quantité sous le signe d'intégration relatif à ^ étant une fonction paire de //, on peut, en vertu du n® 460, remplacer les limites o et oo par — oo et -<- oo , en prenant la moitié, et il vient ainsi

F(x) = / / F(|)coStt(|-*)rffirf|.