INTÉGRALE DE FOURIER

SilafonctionF(a:)estpaire, on verra, en développant cos/:x{ 5 — ^x), que le terme de l'intégrale qui dépend de sinjm^ s'évanouira, et, en appliquant la formule du n^ 4f60, on trouvera

F(j-)=-/ / F(5)cospîcosfAj?^ui^.

De même, si la fonction F{x) est impaire, on pourra écrire F{x)z=-I j F(5) sinfAÎsinpxrf/Ac/Ç.

Ces formules pourraient s*étendre, comme celles de la série de Fourier, au cas d'un nombre quelconque de variables.

H94. Applications. — I. Soit, a étant un nombre positif,

F(.r) i^c^^-*", dex=:o àj: = -hoo,

et = e^^^f dej: = — oo àa: = o;

F(x) sera alors une fonction paire de x, et Ton aura En intégrant par rapport à |, on a [456, IV]

Jr»30 g

e-«5cosaïrf;= -Y——,.

Donc

„, . 9.n C^ cosu.r ,

Ainsi l'intégrale

J^^ COStiX

a pour valeur — 6+**^ depuis a: = — «jusqu'à x = o, et — e~^-^

depuis j:=o jusqu'à x= H- 00 [485, IV].

Si l'on supposait, au contraire, F[x)= — e"*"'-^ de j: = — oo à

j: = Oy on trouverait de même II. Soit maintenant

X étant compris entre o et + <x> . On aura, suivant que l'on supposera la fonction F (a:) paire ou impaire,

F(j:) = - I d^k l rfç I rf/COS/xÇcos/Ajr/(/)<?-'^

ou

F(j:)=- / c/^ f ^ f dtsmiiismiix/{t}e-'K ^Jo Jo Ja

En effectuant les intégrations par rapport à \, ces deux expressions deviennent

a /•* r* fit)

Ces deux formules supposent x ^ o. La première est encore vraie pour a:= o ; elle donne alors

comme on peut le vérifier en effectuant Tintégration par rapport à fA. Pour x=o, l'autre formule donnerait la moyenne entre F( — o) et F(-l-o), laquelle est nulle, puisque la fonction F(x) est alors supposée impaire.

En faisant, dans la formule (i),y(«) = ^i on en tirera faci-

lement

4 Jo i-f* ^ 2/*'