INTÉGRALE DE FOURIER

m. Trouver une fonclîon qui soit égale à Tunîté depuis x= — i jusqu^à j:=-+-i et qui soit nulle pour toutes les autres valeurs dex.

On aura

Y[x]-=L- I dii j C0S/x?C0S/AXrfÇ = - I -n^9

résultat conforme à celui que nous avons obtenu au n^ 482^ II.

§iv.

SÉRIES DE BÎjRMAIfN ET DE LÀGRÀUGE.

H95. Nous avons vu [1141] que, ^if{w) est une fonction de w uniforme et continue pour toutes les valeurs de cette variable renfermées dans un certain cercle € (dont nous prendrons, poui* plus de simplicité, le centre pour origine des coordonnées), cette fonction pourra se développer en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de (v.

Supposons maintenant que l'on change de variable, et que w représente une fonction donnée

de la nouvelle variable Zy qui soit uniforme et continue dans une certaine portion du plan ; cette portion du plan renfermera nécessairement le point correspondant à l'origine des w et pour lequel la fonction f (z) s'annule. Soit z^ ce point, tel que l'on ait

Si l'on fait

F(z) sera une fonction de z uniforme et continue dans le voisinage du point ^0 et dans toute l'étendue de la portion de plan pour laquelle les deux fonctions/* et cp à la fois seront uniformes et continues.

38 LIVRE VI. — CnAP. II, § IV.

Si Ton met pour sv sa valeur 9 (z) dans le développement de f{w) suivant les puissances de w, on obtiendra le développement de F(z) suivant les puissances entières et positives de la fonction 9(2),

la) F(z)=ûo-h«iî>(«)4-û,[î>(3)]'4-

11 s'agit de déterminer Tétendue de la portion 31 du plan des z pour laquelle ce développement est possible , et de trouver les expressions des coeflicientsao, a^ as, ... au moyen des fonctions

F et cy.

H96. Posons, pour abréger, et considérons le résidu

Si la quantité

n'est pas infinie [et il en sera ainsi si <f'{z) n'est pas nul], cette quantité sera la valeur du résidu en question.

Supposons maintenant que, pour tout point du contour de l'aire 3ij le module de C() = ^ (^) soit constamment plus grand que le module de w = <f{z). On pourra développer alors en une série

convergente suivant les puissances de w. On a, en eflet,

I I r «' /«vX"-* «''* n

= - IH — h. ••-+-(-) + -j^^ .

En multipliant par — : F'(Ç)rf^ et intégrant tout le long du contour de ^, on aura

SÉRIE DE BÎJRMANN. 89

les coeflBcients bk étant donnés par la formule

et le terme complémentaire Q,^ ayant pour expression

(5) a^=JL.^nC m^

1197. La condition

mod.ù)> mod.»'

sera remplie si l'on prend pour contour de 3i la courbe que l'on détermine en égalant le module R de ^{z) à la plus petite des valeurs de ce module qui correspondent aux diverses racines de l'équation y' ( ar ) = o.

En effet, ce module R, qui s'annule pour le point z = Zo, va nécessairement en croissant lorsqu'on part de ce point, puisqu'il ne peut recevoir que des valeurs positives. Traçons autour de Zo une série de courbes que nous désignerons par (R) et dont chacune correspondra à une même valeur constante du module R. Si l'on pose, u et V étant réels,

l'équation générale de ces courbes sera

Deux courbes quelconques de cette suite ne se couperont pas, sans quoi il faudrait que u^-h-v^ admît au point d'intersection deux valeurs difi<érentes, et alors u et ç^, et par suite (f[z),ne seraient plus des fonctions uniformes. Donc ces courbes iront en s'élargissant à mesure que le module R croîtra, et chacune renfermera dans son intérieur toutes les précédentes.

U en sera ainsi tant que le module R n'aura pas atteint un maximum. Or, pour ce maximum, on doit avoir

ou, en reprenant les notations du n^ 1101,

4o LIVRE VI. — CHAP. II, § IV.

X eij- étant des variables indépendantes, il en résulte

ttX -h pY—o, i'X— ttY=o,

d'où Ton tire X = o, Y = o, et par suite

/(«)=X4-zY = 0.

Donc, toutes les fois que le module d'une fonction synectiqueff[z) passe par un maximum ou par un minimum, la dérii^ée ^{z) s'annule.

Il s'ensuit de là que, si R| est le plus petit des modules de ^{z) qui correspondent aux diverses racines de l'équation <f'{z) = o, Rf sera égal ou inférieur au plus petit des modules maxima. Si donc on prend pour contour de Taire 3i la courbe (R4 ) donnée par l'équation

<f'{z) sera différent de zéro dans toute l'étendue de cette aire, et,

si z est un point de l'intérieur et ^ un point du contour, on aura

toujours

mod.f>(^] >mod.y(2).

Si, de plus, la courbe (Ri) est contenue tout entière dans l'aire de continuité H de la fonction F (s), et par suite aussi de sa dérivée

F'(z) rH361, la fonction -77— r sera uniforme et. continue dans

toute l'aire limitée par (Ri), et le développement donné par les formules (3), (4) et (5) sera convergent.

Si (R|) sortait de l'aire ^, dans laquelle F(z) est uniforme et continue, on remplacerait (Rj) par une autre courbe (R'J de la série (R), correspondante à un module R'^ <[Ri et contenue entièrement dans B,

1198. Cela posé, multiplions les deux membres de l'équation (3 ) par cj)'(z) rfz = rffv, et intégrons-les entre les limites Zq et z ou entre les limites o et w. Il viendra, en posant

SÉRIE DE DURMANN. 4^

OÙ Ton aura

lim

^^* F / Ni»»

i.a.../ïe = o * [?(2^o+0]'* La formule (6) représente la série de Bûrmann.

Ii99. Il nous reste à faire voir que, dans les hypothèses où nous nous sommes placé, le terme complémentaire i Q^ndw de la sé-

rie (6) est infiniment petit pour n infiniment grand. Ce terme complémentaire s'obtient par l'intégration de Texpression

Le module K de f (^) est constant et plus grand que le module R de ^{z). Donc, en faisant sortir le module A de dessous le signe y, on voit que Un se réduit à une fonction finie de z, multipliée par

le facteur ( ~ j , lequel est infiniment petit pour n infiniment

grand, d'où il résulte d'abord que la série (3) est convergente.

Maintenant, le terme complémentaire de la série (6) s'obtiendra en multipliant l'expression (8) par dw= f\z)dz et intégrant entre les limites Zq et z. Si l'on pose

R étant le module de f (r) correspondant à la limite supérieure z, on obtiendra pour résultat une intégrale finie, multipliée encore

par le facteur infiniment petit ( ^ j 9 et l'on en conclura que le

terme complémentaire de la série (6) est encore infiniment petit pour n infiniment grand et que, par suite, la série (6) est convergente.

On pourrait encore remarquer que le reste de la série (6) peut se mettre sous la forme

expression qu'il serait facile de transformer en effectuant l'intégration par rapport à Z. On obtiendrait ainsi le reste de la série de Biirmann; comme on Ta fait pour la série de Cauchy [1120] Nous n'insisterons pas davantage sur cette formule, trop compliquée pour être d'une utilité pratique.

1200. Donnons quelques applications de la série de Biirmann. I. Supposons

Les courbes (R) seront données par l'équation

mod. [( « — a) (3 — (3)] = [mod. ( z — a)] [mod. ( s — p)] = R.

Or mod. [z — a ) et mod. [z — (3 ) sont les distances du point z aux deux points a et j3. Ces courbes sont donc des ovales de Cassini.

Pour R moindre que le carré de la moitié de la distance a|3 des deux foyers, chaque courbe se compose de deux ovales séparées, entourant l'une le point «, l'autre le point (3. Pour R= f - a/^j , les

deux ovales se rejoignent pour former une courbe en forme de lemniscate. Pour une valeur plus grande de R, on a une courbe unique, renfermant les deux zéros de la fonction.

La dérivée <f'[z) = nz — a — P s'évanouit pour z = i

expression qui, substituée dans f (^)> donne, pour valeur du module,

Il faut donc prendre R <^ ( - «(3 j , et partant choisir pour 3i celle

des deux ovales, dont se compose alors la courbe, qui entoure le foyer dont z doit être le plus voisin, le foyer a, par exemple.

On a alors, en supposant cette ovale assez petite pour que la fonction F(^) reste uniforme et continue à son intérieur,

l.2.,./ln = a U — P]" 1.2. ../ï " (a— Pj'*

SERIE DE dUrMANN. 43

Soient, par exemple,

d'où R<^ 71 et supposons que la fonction F(z), uniforme dans

l'aire Z^ qui ne renferme pas le point de ramification z = i, parte du point z = o avec la valeur initiale i>^= i. Il viendra

pfu-3)(.a-4)^ ,^^^

1201. II. Immersion des fonctions.

Étant donnée entre w et z une équation de la forme w = (Sf{z), on peut, à l'aide de la^série précédente, développer z, ou, plus généralement, une fonction donnée F (2) de z, suivant les puissances de <f(^z)=zw, ce qui donne l'expression de la fonciion inverse de la fonction f . La valeur de z en fonction de w pouvant offrir plusieurs déterminations, on obtiendra plusieurs formes de développement, correspondantes aux différentes aires 3 qui entourent les diverses racines Zq de l'équation cp(^) = o, et à l'intérieur de chacune d'elles z sera une fonction uniforme de çv.

Soit donnée, par exemple, l'équation

On a ici

Pour la racine z = i de l'équation ç'(z) = o, on a

mod. ^(3) = - •

Le contour à l'intérieur duquel z doit être compris est donc déterminé par l'équation

mod.(«tf~-) = -> ou j7* -f- r' = c*f*^~*^

Pour tout point de l'intérieur de ce contour, on a

OÙ

1202. III. Série de Lagrange.

Supposons que Féqualion entre w et z soit de la forme

d'où l'on tire

et, par suite, zo = c, en admettant quey*(c) ne soit pas nul. Si f{z) reste fini dans l'aire considérée, l'équation <]p'{z) = o

devient

Parmi les racines de cette équation, on prendra celle qui donnera pour le module de ■ .,, . la plus petite valeur K|, et le contour de l'aire où z devra être renfermé sera déterminé par l'équation

mod. -jr, — r = I^f On aura alors

avec

On =

1203. On peut établir la série de Lagrange d'une manière plus élémentaire, mais qui a l'inconvénient de ne pas faire connaître les conditions de convergence du développement.

Soit z une fonction de w^ définie par l'équation

Si l'on représente par