SÉRIE DE LA6RANGE

la dépendance entre z et w, on r, par le théorème de Maclaurin;

tv . . , . «f* . „ , . w'*

(3) » = ^Ko)+-f(o) + — r(o)+..-+,^ J(-^{o)-h.... L'équation (i), pour (v = o, donne z = c, ou

Un a ensuite

(4) g = fH=/(z) + «./'(,)^.

d'où

On pourrait continuer ainsi, et obtenir successivement les valeurs de ^'"(o)» 4^''(o), .... Mais on peut trouver une formule pour exprimer le terme général de la série.

De Téquation (4), on tire •

dz /[z)

div I — «'/' ( z )

Si Ton différentie' maintenant l'équation (i) par rapport au paramètre c, il vient

dz I

donc

ce qui fait connaître -r- au moyen de ^ •

On a maintenant identiquement, quelle que soit la fonction ^y

comme on peut s'en assurer soit en effectuant les différentiations, soit en remarquant que ces deux quantités sont les expressions de

Donc, en remplaçant )(l{z) pary(2), l'équation (5) donnera

46 LIVRE VI. — CHAP. Il, § IV.

d^où, en faisant w= o,

De même

D»3=D.D,l[/(.]]'D,3J=D;j[/(z)PD,îj=D,î|[/(0rD,ej,

d'où

Et ainsi de suite, de sorte qu'on aura, en général,

f«)(o) = Dr».[/(c)]^

En substituant ces valeurs dans Téquation (3), on aura le développement cherché de z suivant les puissances de çv.

Si, au lieu du développement de ^, on veut obtenir celui d'une fonction donnée F(z), on formera alors les valeurs des dérivées de F ( 2 ) par Rapport à çv. On a

jy,F{z) = r[z)D,z = r[z)/{z)DcZ=f[z)DcF[z),

DlY[z) = D„[F'{z)/{z]D,z] = D,[F' lz)f[z) D„z]

= D,|F(3)[/(.)]«D,3}=.dJ[/(z)]«D,F(.)|,

et, en général,

Dj;F(«) = Dr'|[/(3)]''D,F(3)j.

Si l'on pose F(z) := 4*(«'), on aura donc

et généralement

et l'on retrouve ainsi le développement du numéro précédent.

1204. Comme exemple de développement par la série de

Lagrange, prenons le problème de Kepler, qui consiste à tirer de

l'équation

Tz= u — e sin tt

le développement de l'anomalie excentrique u d'une planète suivant les puissances de l'excentricité e, T étant l'anomalie moyenne. On