SÉRIE DE LAGRANGE

remplacera, dans les formules précédentes, z, w, c respectivement par Uf e, T, elf{ii) sera égal à sinu. Il viendra alors

a=T+ -sinTH Drsin'TH 1 D?"* sin'»T4-

Or on a, pour n impair,

rsm"wT — /isin(/i — 2)T-h(/i)ïSin(/ï— 4)ï'

et, pour n pair,

cos/iT — 71 cos(/i — 2)T4- (/î),cos(/î — 4)T'

On peut tirer de là immédiatement les valeurs des coefficients des puissances de e. On trouve ainsi

è^ é^ \ I 3 tt=T-i-tfsiDTH sin2TH :r • — 3*sin3T sinT

H -^-T • A: ( 4' sin4T — - . 2^ siQ2T 1 -h

Pour obtenir le rayon vecteur r, on posera, 2a étant le grand axe.

- zz: F(ttl = l — eCOStt,

et Ton aura ainsi

- =1— <?cosTh sin*TH Disin^T-h. . .

= 1 — «cosT— ~.-(cos2T— 1) r(3cos3T— 3cosT)

— (4*cos4T— 4-2*cos2T) —

Pour calculer Fanomalie vraie {f — cr, on développera d^abord /- j = (1 — ecosii)-- suivant les puissances de ecosu; puis on calculera, parla série de Lagrange, les développements des diverses

puissances de cosu. On aura ainsi

-r = IH 1 7 h • • • -h 2e 7 h • • • I COS T

H- ( h%r H }cos2T-f-(-j-4-..-Jcos3T

/io3c* \ ,^

-h I — -^ !-•••) cos4T -h . . . .

£n multipliant ce développement par celui de

s/^ — ^' — ^ 2""» i6 '•' on aura le développement de

d'où, en intégrant à partir de T = o, on aura, pour l'expression de Tanomalie vraie,

2e— ~ H jsinT-f-f -Y j-^ H |sin2T

1205. Pour obtenir maintenant les conditions de convergence de ces développements, considérons Téquation f'(^) = o du n° H97, laquelle devient ici

sina — ( « — T) cosm ^

7~4T — =^^^ ou .« — T — tangu = o.

sin'tt

En supposant T réel, et posant u = x-^ijj cette équation se partagera en deux autres,

sin2j: Sh2j^

C0S2a: H- Ch2^ COS 2 or H- Ch 2/

Ces équations ne pouvant être résolues tant que la valeur de T n'est pas donnée , cherchons du moins la plus petite valeur que

SÉRIB DE LAGRANGE. 49

puisse recevoir le module de e pour une valeur réelle quelconque

de T.

La seconde des équations précédentes peut se mettre sous la

forme

. , Shar ^,

Le second membre croissant avec y^ et le premier membre ayant pour valeur maximum ix^ y ne pourra surpasser la racine réelle de l'équation

i = Ch2r-- — , ou X=-r^^^

laquelle, étant résolue au moyen des Tables de fonctions hyperboliques, donne la valeur

Si maintenant dans la valeur e = —. on remplace u — T par

sm li ^ ^

sa valeur tirée de ç'(u) = o, savoir, u — T= tangu, il vient

Ch r cosa? -I- / Sh y sin x

e — seca = 2 — ■ — — -^ ,

COS2X -h Lhif

expression dont le module est

COS2X -h Chiy

ou, en remplaçant cos2 j: + Ch 11 y par sa valeur —y

Shaj^

Cette quantité décroit pour j^ croissant, et, par suite, son minimum correspond au maximum dey, c'est-à-dire à j- = i , 1997 • • • • ^^ a donc, pour le minimum de R,

Sh2r Ch27—i

d'où

H. — Court de Cale, in fin,, IV. 4

5o LIVRE VI. — CHAP. Il, § V.

Donc le développement ne sera possible, quelle que soit la valeur réelle de T, que pour les valeurs du module de e ou de l'excentricité inférieures à 0,6627. . ..