DÉCOMPOSITION DES FONCTIONS EN FRACTIONS SIMPLES

1206. Soity (z) une fonclion uniforme, présentante l'intérieur (!e Taire ^ les infinis CoC^, . . . . Si le point z est également compris dans l'aire ^, la fonction ^ de la variable (^ aura les mêmes

infinis que f{^)y et de plus l'infini ^ = z. Le résidu de celte fonclion relatif à l'aire ^ sera donc

La dernière intégrale : / *-M — » élant prise le long d'un contour qui lie contient pas d'autre infini que z, a pour valeur y (z). Donc

Soit maintenant n l'indice d'un infini c. On aura [1148]

Je ç

ou, en posant (Ç — c)''/(Ç)=cf(^),

DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES. 5l

Z ne devenant pas infini pour 1^= c. Le produit Zç(^) ne deviendra pas non plus infini au point ^ = c, et, par suite^ on aura

Zf[^)d>i=:0.

Donc la valeur du résidu : / — ^^ se réduit à

en posant

résultat qui coïncide avec celui que nous avons obtenu au n" 420.

1207. Il reste à calculer la première intégrale — / — ^

Supposons que tous les infinis dey(z), à l'exception de z= oo , soient contenus dans Faire 3, et appliquons la transformation par

rayons réciproques, en posant ^= -• En changeant le signe, comme au n® 1139, l'intégrale prendra la forme

et, l'aire /^' ne contenant pas d'autre infini que le point '^'= o, cette intégrale n'est autre chose que le résidu, pris en signe contraire, de la fonction ,. ^ r'\^\7') P^^^ ^® point Ç' = o. Or

on a

V étant l'indice, pris positivement, de l'infini ^ = qo ou ^'= o, et

5l LIVRE VI. — CHAP. II, S V.

K étant une quantité qui ne devient pas infinie pour ^' = o. En posant

cette fonction x(?') sera finie dans le voisinage de Ç'= o, et il en sera de même de K;f(f '). Donc la valeur du résidu intégral cherché se réduira à

H-B|Z 4-. . .-hB^z\

en posant

(3) B.= -i- r^s4 = li. r ltz(i)] .

Si lafonctiony(z) est rationnelle. Tordre v de l'infini ^ = oo est égal à Texcès du degré du numérateur sur celui du dénominateur.

Si les deux termes sont de même degré, Texpression précédente du résidu intégral se réduit à la constante f{oo) ou au rapport des coefïicients des plus hautes puissances de z dans les deux termes def[z).

Si le numérateur est de degré moindre que le dénominateur,

Ç'= o n'est plus un infini de la fonction -;/( ^- ) = C/(C)» ^^» P^**

suite, le résidu de cette fonction pour Ç' = o est nul. La fonction f{z) se réduit alors à la somme des résidus relatifs aux infinis

1208. Donc, si /{z) est une fonction dont tous les infinis, à Texception de z = oo , sont contenus dans une aire finie ^y et si /ii, n2f . . . , V sont les indices respectifs, pris positivement, des infinis C|, C2} • . . , *^ ^f{^) pourra se mettre sous la forme

1/(8) =Bo-t-BiZ+...-hBv3^

le signe Z s'étendant à tous les infinis C|, C2, . . . , et les coefficients Ba, C^*^ étant déterminés par les formules (3) et (a).