DKCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES

Si l^ndice v était négatif, la partie entière du développement disparaîtrait.

On voit que, si le nombre des infinis 0|, Cs, ... est limité, et que les indices rii, n^, . , . , v aient tous des valeurs finies, la foncûonJ'{z) sera nécessairement une fonction rationnelle. La formule (4) donne la décomposition de cette fonction rationnelle en fractions simples.

Dans le cas contraire, le développement de J*[z) se composera d^une infinité de termes. Pour pouvoir alors faire usage de ce développement, il faudra au préalable s'assurer de sa convergence.

1209. Exemples. — I. Formule d'interpolation de Lagrange. Considérons la fonction

fU)^ FM ,

F(z) étant une fonction entière, de degré moindre que le degré n du dénominateur. On est alors dans le cas où la partie entière du développement Aef[z) est nulle, et Ton trouve simplement

{«*— »! ) • . . (»ifc— H-\ )[^k — «JH-1 ) . . • («*— 2« ) » — 2*

En mettant poury(z) sa valeur, on en tire

ce qui est la formule d'interpolation de Lagrange.

1210. IL Considérons la fonction

/(z) = coi-»

qui a pour infinis toutes les valeurs de z qui sont de la forme

/JTT

Choisissons pour contour de Taire une courbe qui entoure tous ces infinis, à l'exception de celui qui répond à n = o, et par suite à z =^ 00 , et qui est le point O'. On aura, par la formule du n® 1208,

D'ailleurs, cot(^' étant infini du premier ordre pour î^'= o, on a

Ensuite

cot r ^Ç

cot

I I WTT /ÎTTZ I

Donc

cot

cot- = 5 — y (— -H Izzrzl I — 2 y > , .

De ce développement, dont il est facile de constater la convergence (*), on tirerait aisément les développements de cote,

tang^, . . . , en remplaçant z par — > puis -z/ par z" y etc. {^voir

nM191,I).

1211. Si la fonction /(-z) a un nombre illimité d'infinis correspondants à des valeurs de z indéfiniment croissantes, alors les valeurs de z, représentées sur la sphère [1111], se presseront autour du point O' avec une densité infinie, et l'on ne pourra plus appli-

quer toujours à l'évaluation de l'intégrale ^ — : i -—■'-—^ le procédé du n° 1207.

log — ( * ) En efiet, il satisfait à la condition connue de oonrergence - — — > i .