DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES. S
On peut cependant y parvenir simplement dans certains cas. Prenons pour contour de ^ une ligne de dimensions infinies, qui ne passe par aucun des infinis dey(î^). On peut alors écrire l'intégrale sous la forme
Pour ^ infini et z fini, le facteur différera infiniment peu d(
l'unité, et, par suite, on n'allérera qu'infiniment peu l'intégrale en le supprimant. On pourra donc, dans ce cas, toutes les fois que cette intégrale aura une valeur finie, remplacer la formule (i) par la suivante :
l'intégrale /
-y — est une constante mdépendante de z,
mais qui peut dépendre de la forme choisie pour la courbe infinie qui limite ^. La somme de résidus
relative à tous les infinis renfermés dans l'aire 3ij sera en même temps dépendante de la forme de cette courbe. Alors le développement de la fonction en une somme infinie de fractions simples ne pourra pas se faire sans tenir compte du terme complémentaire représenté par la première intégrale.
Mais si, en donnant au contour de ^ une forme symétrique par rapport à l'origine , il arrive que cette intégrale prenne une valeur constante, indépendante de la nature de la courbe symétrique, nulle par exemple, comme cela a lieu lorsque y(z) est une fonction impaire de z, alors, en associant deux à deux les résidus correspondants à des infinis symétriquement placés, on aura un développement convergent de la fonction y*(z), sous forme d'une suite infinie de fractions simples.
1212. Soit, par exemple, la fonction
f[z) = cosécs.
Les infinis de cette fonction, qui sont les zéros de sinz, sont situés tous sur Taxe des x, aux distances db/ir: de l'origine. Prenons pour contour de Taire une courbe infinie quelconque, qui ait pour centre l'origine, et qui coupe Taxe des x entre deux infinis consécutifs, de sorte que coséc^ ne soit infini en aucun point du contour.
L'intéffrale
Jf cosécÇ ^ a -*•
prise le long de cette courbe, aura, en deux points diamétralement opposés, des éléments égaux et de signes contraires, coséc^ étant une fonction impaire de ^. Donc cette intégrale sera nulle, et Ton aura simplement
ec3=r ; lim > I -r/Ç,
la somme devant être prise entre deux valeurs de n égales et de signes contraires, et qui tendent vers l'infini. On a d'ailleurs
1 /* cosécÇ ^ ,. , , coséc!^ ,. 8.coséc(/ï7r -t- g) — - 1 z- «^ = "in ( ? — ^^) = "ï" ~
= lim
z — nn — ( sine z — wtt
^z — mc z ^ z* — /ï*7r'
ir
En remplaçant z par z, on tire de là
z -"(,1 — |),r "* -ii- ( « -f-i)*7r* - 3« *
En changeant z en iz dans ces deux formules, on aurait les développements de -r—y -^^*
Sh« Chz
DEVELOPPEMENTS EN PRODUITS INFINIS. Sj
§ VI
