DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN PRODUITS INFINIS
1213. ConsidéroDS une expression de la forme
(l) (H-«o)(l-*-ûl)- ••("-+-«n)=I][(l-+-«n),
ao, a^y , . ,y afi étant des quantités réelles et positives, fonctions de
leur indice variable n. Si Ton fait croître indéfiniment le nombre
71 + 1 des facteurs, on demande à quelles conditions le produit
convergera vers une limite finie et déterminée.
On voit d'abord que la première condition est que le facteur
ï-f-a« tende vers l'unité, et par suite le nombre a„ vers zéro,
pour n infiniment grand.
Ensuite , à cause de
il en résulte que l'on a
n ( I H- ^rt ) < n a"» , c'est-à-dire < e-'
Donc, si la série
converge vers une limite finie A pour n infiniment grand, on aura, quelque grand que soit n.
D'ailleurs tous les facteurs i + a,i étant plus grands que l'unité, le produit croît nécessairement avec n. Donc le produit 11[i -{- a„) converge vers une limite finie, toutes les fois qu'il en est de même de la série Sa».
De plus, on a évidemment
Donc, si la somme de la série Xa„ ne convergeait pas vers une limite finie, mais croissait indéfiniment, il en serait de même a fortiori du produit H[i-ha„).
Donc la convergence de la série l^a,t est la condition nécessaire et suffisante de la convergence du produit II{n- a„). Considérons maintenant le produit
n(i-+-tt;,),
dans lequel Uoy u\j . . . , Un sont des quantités complexes, comprenant comme cas particulier les quantités négatives, et ayant pour modules les quantités a^j ^i , . . . , /Z;,. Le module d'une somme étant moindre que la somme des modules des parties [71 ] et plus grand que leur différence, le module àe \-\- u„ sera compris entre ceux de I -h an et de i — a^. Donc [74] mod. II(i -h u„) sera compris entre n(i -f-^w) et II(i — an)- Si donc, suivant les conditions de
§ convergence de la série Sa^, an tend vers zéro, ainsi que 2^'"
72 et N étant deux infiniment grands indépendants Tun de l'autre,
on en conclura, comme précédemment, queTT (i iha;,) tendra vers l'unité pour /z et N croissant indéfiniment. Donc il en sera de même du module de TT [i-\- u„), et, par conséquent, on en con-
dura, par un raisonnement analogue à celui que l'on emploie dans la théorie des séries, que le produit TT(i H- Un) tendra vers une
limite finie.
Si l'on remplace Un par UnZy z ayant une valeur finie quelconque,
TT{i-f-Mrt3) satisfera évidemment aux mêmes conditions que
TT(i ■+- Un)y et par suite sera aussi un produit convergent. Donc,
toutes les fois que les coefficients Un rempliront les conditions ci-dessus, le produit infini TT(i -f- Unz) prendra, pour chaque va-
DI£VEL0PPEMENT8 EN PRODUITS INFINIS. Sq
leur de z^ une valeur finie el déterminée; ce produit représentera donc une fonction finie et uniforme de z.
De plus, cette fonction est continue et monogène. Pour le prouver, il suffit de faire voir qu'elle a, pour chaque valeur de la variable z, une dérivée finie et déterminée. En eflet, si l'on pose
Z«=JJ(H-tt|,2),
la dérivée de cette fonction sera donnée par Téquation
Le second membre est une série convergente pour n infiniment grand. Donc D^Z^ converge vers une limite finie et déterminée,
OD
et par suite la fonction Z=:TT(i -f-M„z) a une dérivée finie et
déterminée par rapport à z, c'est-à-dire qu'elle est monogène. Il s'ensuit de là maintenant que dzT^ est infiniment petit avec dz, et par suite que la fonction Z est continue,
1214. Voyons maintenant comment nous pourrons obtenir le développement d'une fonction donnéey(z) en produit infini. Appliquons au développement de la fonction
F(^) = D,log/(,) = ^^ la formule du paragraphe précédent,
la fonction /{z) étant supposée uniforme dans toute l'étendue de l'aire 3.
La fonction dérivée /'(^) a les mêmes infinis c[uej'[z) [1136];
donc ■^, . ■ ne peut devenir infinie que pour des valeurs qui rendent
J'{z) ou infinie ou nulle.
Co LIVRE VI. — GHAP. II, § VI.
Soient c un zéro ou un infini àe f{z), m son indice, positif ou négatif [1133]. La fonction
sera finie, continue et différente de zéro pour z = c [115S, 1153]. Donc
m -ht
sera aussi continue pour z = c. Il en sera de même, par conséquent, de
Donc • , est égal à j plus une fonction finie et continue
pour z = c. Le terme étant infiniment grand du premier
ordre, tandis que l'autre partie est finie, on en conclut que, poiu* toute valeur z = c qui rend la Jonction J'^z) nulle ou infinie, la
fonction =^^z^ogf[z) est infiniment grande du premier
ordre.
D'après ce que nous avons vu [1206, 1208], le résidu
est égal à la partie de la fonction D^logy*(-z) qui devient infinie
pour z = c, c'est-à-dire à » comme il est d'ailleurs aisé de le
vérifier, en calculant directement
Donc
Il reste à calculer Tintégrale
DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS INFINIS. 6l
On pourra développer en une série ordonnée suivant les
puissances positives de z, le module de X^, sur le contour de ^^ pouvant toujours être supposé plus grand que le module de z. L'intégrale se présentera alors sous la forme d'une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de z, le contour étant choisi de manière à ne passer par aucun des infinis de ïyz^o^f[z).
Si l'on suppose l'aire 3 infinie dans toutes ses dimensions, on verra, comme au n° 12H, que l'intégrale précédente a la même valeur que l'intégrale
J__ r^log/(0
et par suite elle se réduit alors à une constante H indépendante de z. Si la fonction Dçlogy(^) est impaire, et que l'on choisisse pour
contour de l'aire ^ une courbe symétrique par rapport à l'origine,
alors la constante H sera nulle.
Cela posé, en désignant par H la valeur, constante ou variable,
de l'intégrale
on aura
(,) Djog/(z)=2;j^ + H.
En intégrant les deux membres entre les limites Zq et z, Zq n'étant ni un zéro ni un infini def[z)y il vient
d'où l'on tire ( « )
Jildz
