A II

le produit II s'étendant à tous les infinis contenus dans l'aire 3.

(*) L'intégrale de <^log/*(«) dépend, comme nous le verrons plus lard, du chemin suiTi par le point z pour passer de x, en z, et les valeurs que l'on obtient pour log/(z) peuvent différer d'un multiple quelconque de 'Àiti. Il en est de même pour l'intégrale du second membre. Mais ces multiples de a;r< ne peuvent avoir aucune influence lorsqu'on vient à repasser des logarithmes aux nombres.

Si rinlégrale H est nulle, le facteur e'^=-"'" se réduira à l'unité.

1215. Supposons maintenant que, dans l'intérieur de Taire 3, chacune des équations

n'ait que des racines simples, et soient Co, c'i, • • • les racines de la première, c'est-à-dire les zéros de la fonction /{2), et y^, y,, . .. les racines de la seconde, c'est-à-dire les infinis Aef[z). La formule (i) deviendra

D.iog/(3)-2:7:b-2z-:=^-^"'

d'oCi

le produit supérieur s'é tendant à tous les zéros de/(z) compris dans l'aire 3, et le produit inférieur à tous les infinis compris dans la même aire.

Chacun de ces produits sera de la forme de ceux que nous avons considérés dans le n° 1213, et, s'ils remplissent les conditions de la convergence, ils auront l'un et l'autre pour limites des fonctions synectiques de z.

Si les zéros c sont distribués symétriquement sur une parallèle à l'axe des x, par exemple, indéfinie dans les deux sens, et que l'on prenne pour contour de ^ une courbe infiniment grande, symétrique par rapport à l'origine et ne passant par aucun des zéros ni des infinis de la fonction /(-z), l'indice n des points c„ compris dans l'aire variera entre deux valeurs infiniment grandes, correspondantes à deux points symétriques. Et de même pour les infinis y.

Ainsi, si les zéros sont représentés par les valeurs a-f- /za, a et a étant des constantes, l'indice n devra varier, dans le produit II, depuis — n h -+- w, n tondant vers l'infini, de sorte que le produit