DÉVELOPPEMENTS BN PRODUITS INFINIS. G

aura pour valeur

lira TT(i -h Unz).

Si les zéros sont de la forme a -f- (2/1 -|- i)a, n devra varier entre deux valeurs n', n!', telles que 2/i"-f-i soit égal à — (2/1' -+-1), c'est-à-dire que l'on devra prendre 72"= — n! — i, ce qui donnera la valeur

lim TT (i-h£/,,z).

Ces remarques sont essentielles dans les cas où la convergence du produit dépend de la forme du contour de Taire 7i et du mode de groupement des facteurs. Il peut arriver, en effet, que la quantité H ne s'annule que par suite de la symétrie de la courbe d'intégration, et que le produit II ne soit convergent que si l'on prend pour son élément le produit de deux facteurs d'indices égaux et de signes contraires. Dans ce cas, l'introduction ou la suppression d'un facteur d'un seul côté de Torigine pourrait modifier la valeur du produit.

Si l'on effectue le groupement des facteurs équidistanls de l'origine, en posant, suivant les cas,

ou

le produit prendra la forme

lim TT(>-*-U/.),

ou simplement

121 G. Exemples. — I. Soit la fonction

on aura

Les seuls infinis de cette fonction sont les zéros de cosz, donnés par la formule

et, comme ces zéros sont du premier ordre, on aura

Si Ton prend maintenant pour contour de 3 une ligne infinie « symétrique par rapport à l'origine, on aura

tanf,'Ç

r/Çr=o.

Donc alors H = o, et, par conséquent,

Dzlog/W = — tang3=lim V (»)

d'où, en intégrant,