X -h « J — c = or -h /^ — («H- ib)=: pe
d'où
X — a = p cos^py jr — b = p siny,
et prenons pour contour le cercle de rayon infiniment petit p.
CALCUL DBS INTEGRALES DÉFINIES. 67
L'expression dw=lJdx -4- Vrf;^ prendra, p étant constant, la forme
F(p, <f)d(f, d'où
J^fi':=Uni 1 F(p,f)df,
Soit, par exemple, l'intégrale
, V Çxdy—rdx
prise le long du contour d'un carré dont les côtés ont pour équations j: = ± 1 , j^ = di I . L'intégrale pourra se décomposer de la manière suivante :
Or les fractions
ont l'une et l'autre un point de discontinuité pour j? = o, j^ = o. En calculant, par la transformation précédente, l'intégrale (i) prise autour de ce point, on aura
Donc
-+■' dx
ly
1219. Si en particulier IJ dx + Wd^ est la différentielle d'une fonction monogène F(z) d'une variable complexe z, on aura alors
U + iV = o.
En faisant donc U =f{z)y l'expression IJdx -f- Vrfy se changera
en J\z)dzy et — : sera le résidu intégral de la fonction y(z) relatif à l'aire ^. On aura donc la formule
Pour faire usage de cette formule, on choisira le contour de Taire 2i de manière à pouvoir exprimer Tintégrale i f[z)dzii
Taide d'intégrales définies relatives à des variables réelles, et l'on égalera cette valeur à la valeur de ^^ calculée au moyen des formules que nous avons données pour évaluer les résidus. En séparant ensuite, dans les deux, membres de l'égalité, le réel de l'imaginaire, on obtiendra deux relations entre des intégrales définies et des quantités connues.
On prendra généralement pour contour une ligne telle qu'une seule des variables réelles x etj^, ou r et p varie à la fois, ou bien que les deux variables soient des fonctions données d'une même variable auxiliaire; on rencontrera alors immédiatement des intégrales définies ordinaires. Pour cela, on composera, par exemple, le contour de parties circulaires ayant pour centre l'origine, ou de parties rectilignes parallèles aux axes. Dans le premier cas, le rayon vecteur r sera constant; dans le second, une seule des coordonnées Xyy variera.
Appliquons cette méthode à quelques exemples.
1220. Si l'on prend pour contour un cercle de rayon /• et de centre c = a-+-ii, et que l'on pose
.T =1 a -h rcos/?, y = b -\'- rsin/?,
la différentielle Udx -i-\dy prendra la forme F(^r^ p)dp, ou simplement ¥[p)dp, r étant constant, et l'intégrale proposée
F[p)dp. Donc on aura
