CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIS
équation qui se partagera en deux autres siF{p) est une fonction complexe de p.
Soit, par exemple, l'intégrale
/(z) dz f Tj I — az z
f{z) étant une fonction uniforme et continue dans l'intérieur de l'aire 3i. La fonction , a pour infinis les points z = o et
2 = -9 qui peuvent être, ou non, contenus dans l'aire Z. On aura donc
chaque intégrale du second membre devant être remplacée par zéro si le point auquel elle se rapporte est hors de Taire.
Si z = o est dans l'aire, la première intégrale aura pour valeur
Ai = aTT/lim [z — /lil— 1 — 27r//(o).
De même, si z = - est dans l'aire, la seconde intégrale sera égale à
La valeur de l'intégrale proposée sera donc
A = A-,, ou = A\, ou = Aj -h A-,,
suivant que l'aire 3i contiendra le point z=o seul, ou le point z = - seul, ou ces deux points ensemble.
Si l'on prend maintenant pour 3i un cercle de rayon i , alors
z = ff*^, — = idpf z
et il vient
- ^— J7 =^^/(o), pour mod.a<i, o
70 LIVRB VI. — GHAP. II, § VII.
et
En supposant y(z) = i et a réel, il vient, suivant que la valeur numérique de a est <] i ou > i,
= 2 TT ou = O,
d'où [voir 459, III]
(i — acosp)dp
. = aw ou o, Q I — ^acosp-ha*
sinpdp
=ro.
^ I — 2«COS/?-hû"
1221. Dans certains cas, on connaît a priori la valeur de A, Supposons, par exemple, que Ton sache développer, par un moyen quelconque, la fonction F(z) de la variable complexe z en une série convergente pour tous les points de Taire ^, et ordonnée suivant les puissances entières et positives de z — c. Le coefficient de la /i"»« puissance de z — c aura pour expression [1140]
F{z)dz
2irt J^ (z —
n-hi
Si donc on connaît d'avance la valeur de ce coefficient any on aura par là même la valeur de l'intégrale qui le représente.
Si Ton prend pour 2i un cercle de rayon r et de centre c, compris dans rintérieur du cercle de convergence de la série, la valeur de l'intégrale sera
I F(c -h re^P)e-"'Pdp = 27rr»a„, o
Plus généralement, si l'on connaît le développement d'une fonction F(z) en une série ordonnée suivant les puissances positives et négatives de z — c et convergente dans tout l'intervalle 3 compris entre deux cercles de centre c, on aura la même formule (i)
