LITBB TI. — CHAP. II, { TH
alors s'écrire sons la forme
— ^ / ^ éP dp.
La qoaDtité soos le signe J restant toujours finie, Tintégrale sera
Fîg. 92.
pareillement finie, et, si Ton suppose u^i, elle sera multipliée par un facteur infiniment petit. Donc on aura, dans ce cas,
et notre formule se réduira à
/•-♦-oo
A représentant toujours le produit par a7:t du résidu intégral de la fonction y(z), relatif à tous les infinis de cette fonction situés au-dessus de l'axe des x.
1223. Considérons, par exemple, l'intégrale
dz
m ein étant deux entiers positifs, tels qu'on ait m <^7Z. Alors
est infiniment petit de l'ordre 211 — am ^ i , et la formule ( 2 ) est applicable. On en tire
CALCUL DBS INTEGRALES DÉFINIES. 73
Or, les infinis situés au-dessus de Taxe des x sont celles des racines c = &p de Téquation i + z^" = o dans lesquelles le coefficient de i est positif et qui répondent à
TT StT StT (2/1 l'jTT
Il vient alors
A = 2r/ (Fi -h F3 -H ... -h F,;,, ),
en posant, pour abréger,
27r/X^«-r^*'* On a, pour z = ca,
r/.= liin ; -— = iim - — i,- ,--— ^ ?
ou, à cause de i -f- cj" = o,
En faisant donc, pour abréger, e *" =7, on a
Or, pour m entier, 7*" = — 1 ; donc
„ Il I , (2/?! H- l):r
Si l'on fait maintenant R= 00 , et que l'on suppose nK^riy d'où am-hK^^'*» Tinlégrale prise le long de la demi-circonférence s'évanouira, et il restera, en prenant la moitié de part et d'autre.
J/»oo Q I -f-X*'* 2/1 2/1
x^"^dx K , ( 2 /n -4- I ) TT = - - cosec j
comme nous l'avions déjà trouvé [4^0].
1224. Soit encore l'intégrale
Jta — z
En faisant z =Re'>, la fonction y(z) devient
^(Rcosp g-h»lnp 1___L,
et, pour toutes les valeurs de p comprises entre o et n, cette quantité est infiniment petite d'ordre infini lorsqu'on fait R = 00. II reste à examiner ce que devient l'intégrale
pour les valeurs de p infiniment voisines de o ou de ir, c'est^-à-dire à trouver la limite de l'expression
Si l'on fait abstraction du facteur e"""^ •*"'', l'expression sous le le signe f peut se mettre sous la forme
(P -h iQ)cospdp^
P et Q étant des fonctions de p qui ne deviennent pas infinies en même temps que R. Donc l'intégrale proposée peut être mise sous la forme
g-KBlnp cospdp (P -h *Q), o
expression dont la valeur est égale à la quantité
/ e-"^"»»Pcos/)dr/? = ^ (i — ^"^•'■'), Jo R
multipliée par une valeur moyenne de la fonction P -+- îQ^ c'est-àdire par une quantité finie. Donc l'intégrale s'annule pour R infini, et la formule (2) est applicable.
CALCUL DES INTEGRALES DÉFINIES. y5
Pour a positif, la fonction a, au-dessus de l'axe des x, l'infini z = ia, auquel correspond le résidu
Donc, pour a^ o,
J-oo "' —
Si l'on change a en — a, la fonction n'aura plus d'infini audessus de l'axe des x, et l'on aura A = o, d'où
00 ut-hx
En combinant ces deux formules par addition et soustraction, on en tire [485, IV]
* cosa; . Tze'-^
Jq ^** -H ^* 2 a
dx=:
* jrsinx . ire-^
djC=:
Cette dernière formule donne, en faisant tendre a vers zéro,
sin.r - ir rfLr= -
1325. Si la fonction y (z) a un infini en un point de l'axe des x, à l'origine z = o par exemple, l'axe des x faisant partie du con •
Fîg. 93.
tour, nous changerons alors la forme de ce contour, afin d'éviter le point O, en décrivant autour de ce point {Jig' 93) un demicercle de rayon infiniment petit r, et prenant pour aire l'espace
compris entre les deux demi-cercles et leur diamètre commun Ox. On aura alors la formule
réP ) réP dp = A.
Si la dernière intégrale / f[re^P)re*Pdp tend vers zéro en
même temps que r, on se retrouve alors dans le cas des numéros précédents, et, si l'intégrale prise le long du demi-cercle extérieur s'évanouit pour R = oo , on pourra appliquer la formule (2). Si les intégrales prises le long des demi-cercles ne s'évanouissent pas, on joindra leurs valeurs, prises en signe contraire, à la valeur de A.
Soit, par exemple, la fonction
on a
f[réP]ré''Pdp^ j é''"'*^ dp,
0 ft/o
En développant e"'^''* en série et faisant ensuite r = o, on voit que cette intégrale a pour valeur tt. On en conclut, en raisonnant comme au numéro précédent.
c'est-à-dire
smj? 77 dx •=. -
1226. Prenons pour aire 7< le rectangle parallèle aux axes, dont les côtés ont pour équations
j: r= ^Tq, ar=X, y-=.y^^ jr-=i\,
La formule
Ç [xidx-^wdJ)^^
CALCUL DES INTEGRALES DEFINIES. 77
devient
et, silJ dx -h Y dj est de la formey*(x -f-'iy) {dx-h idj)y
f [/(*-h/ro;-/(^-f-/Y)]^r
+ // [/(x-^o-)-/(xo-4-^»]^r = A.
Si l'on suppose maintenant Xo = — oo,X = -+-oo,Y = -hoo, el que IJjTyX c*" Vj-, y ou f{x-\-iy) s'annulent pour x = itoo quel que soitj^, et pourj^ = -f- oo quel que soit x, ces fonctions étant, de plus, des infiniment petits d'ordre supérieur au premier, la formule (3) devient
et la formule (4)
Si, dans celte dernière, on suppose j^o = o, on retrouve la formule (2).
Si Ton fait
ôv '
' àj
la formule (3) devient
,rJ
-Ft'"..
ôr
Supposons, par exein
iple.
a étant positif, et faisons
j-o = 7o=o, X=:4-oo, Y— 6,
Si la fonction F(fv) est infiniment petite d'ordre supérieur au premier pour a: = oo , l'équation se réduira à
Si l'on prend F(iv) = iv"~* e""', n étant réel et positif, on a A == G, et F(w) est infiniment petit d'ordre supérieur au premier pour X = -+- 00 . La formule précédente devient donc [488]
Jf^w rt» /»*» r(n)
Donc la formule (7) du n° 488 subsiste pour les valeurs complexes de a dont la partie réelle est positive.
Si l'on fait a-i-ib = pe'% la formule se décomposera dans les suivantes :
Jr* ^* „ « f * cosftO , , I e-^^x'*-^cosbxdx= — -r(7i), 0 r
-ax x"-^smbxdx = rf/i).
1227. Soit F(z)= ^-Y une fonction rationnelle dont le numé-
rateur est d'un degré inférieur au moins de deux unités au degré du dénominateur. Supposons que l'équation (f{z) = o n'ait pas de racines réelles ni de racines multiples, et soient C|, c^, . . . les racines complexes de cette équation qui ont leur partie imaginaire positive. En appliquant à cette fonction la formule (2), il viendra [469, IV]
le signe S s'étendant à tous les infinis c situés au-dessus de l'axe des o:, etCi,Cf, ... étant les numérateurs de celles des fractions simples dans lesquelles se décompose la fonction donnée, qui correspondent à ces infinis.
Ainsi, si f{z) est d'un degré inférieur à l'unité, la fonction
~ — z n'aura, au-dessus de l'axe des x, que le seul infini z = -+- /
CALCUL DES INTEGRALES DEFINIES. 79
et, par suite y
En particulier, siy(x) = ( — ix)-*-*, pour o <::^/i <[ 2, on a
d'où, à cause de i == e * ,
° 2 sm ' —
formule qui revient à celle que nous avons trouvée au n9 490.
1228. Prenons pour contour le périmètre d'un triangle rectangle ABCdontles sommets aient pour coordonnées respectives {xo,j'o)f (X,7o), (X,Y). On aura
/(AB)-h/(BC)-/(AC) = A.
En faisant, pour plus de simplicité, Xo=^o==o, on aura, en chaque point de AC,
jr=zax, d'où djr = aiix, Y=:aX, et Ton a, au lieu de la formule du n? 1206,
— / F'(«';r.«x)^a:.ax = A.
Si l'on fait w = j: H- i y, cette formule devient
f F(a:)dx^ia f F(X4-*V)rf/ — (i4-i^) r F[{i -i- ia) x]dr = ^,
Soit| par exemple, la fonction
8o LIVRE VI. — CHAP. II, § VU.
qui est finie pour toute valeur de x, si Ton prend Alors A = o, et Ton a
Si l'on suppose maintenant X::=qo , comme on a, en faisant X = f X,
et que la seconde intégrale a toujours une valeur finie, la première
e""* dx = — - ,
d'où, en séparant le réel de l'imaginaire,
c-C»-«')'t sin ( 2« j:» ; r/x ==
1229. Soit F (z) une fonction rationnelle. Nous avons vn [1206 et suiv.] que celle fonction peut se décomposer en une fonction entière f{z)y plus la somme de tous les résidus de la fonction
^ » relatifs aux divers infinis c,</,... de la fonction F(f), somme que nous désignerons par
En prenant donc pour 3i une aire renfermant tous les infinis de F(z) autres que z = oo , et représentant par 9(z)une fonction quelconque uniforme et continue dans toute l'étendue de l'aire 3i,
CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES. 8l
on aura
Jf[z)f[i]dz=:zo,
et par suite [1135]
En faisant^ par exemple, ç(z) = e'V^y pourjut^o, on aura, la fonction sous le signe y* étant supposée infîniment petite d*ordre supérieur au premier pour x = oo ,
où Ton a fait c = a-^- ib^ F(x) n'ayant aucun infini sur l'axe des.r,
1230. Soient wune fonction de Zy et ^{w) une fonction de w qui^ pour des valeurs
correspondantes à des points z contenus dans Taire 3, devienne infinie des ordres respectifs
Soity de pluSyy*(z) une fonction de z qui ait, pour les points
contenus dans Taire 7i, des valeurs infinies des ordres respectifs Posons, comme précédemment,
et de même
la variable fù prenant les valeurs correspondantes à celles que prend ^ le long du contour de Taire ^^
H. — Cours de Caie, infin,, IV. 6
Sa LIVHB VI. -> CIIAP. II, § VII.
Le produit f(çv)y(z) aj^ant pour infinis lous les infinis des fonctions 9 et y*, on aura
)dz
Si l'on pose maintenant
fiz
f[z)dzz=zF[ti')ei(v, ou F(fi') =/(») — »
la première somme deviendra
si Ton lait ensuite
la seconde somme deviendra
Donc on a la formule
Exemples. — L Soity*(z)=: j. En prenant toujours pour
:3l la moitié supérieure du plan , on a
c :=. ly Q=- lim
i-h(/-f-i)* ii La seconde somme devient donc
Si Ton fait, de plus,
fv = r-»
on a d'abord
<f'(/) = 0, d'où v^[t]-z=:itff[o].
