CHAPITRE III

1231. Nous avons appelé fonction jnultiforme [IHO] de la variable complexe z une fonction qui, pour chaque valeur de z, est susceptible de prendre plusieurs valeurs distinctes, différant entre elles de quantités finies.

Si l'on attribue à z une suite continue de valeurs, nous supposerons que chacune des déterminations de la fonction w=f{z) prend aussi une suite continue de valeurs, de telle sorte que, si le point variable z décrit dans le plan des z un chemin continu quelconque, chacune des déterminations de w décrira en même temps un chemin continu correspondant. Nous appellerons ces divers chemins les branches du chemin total décrit par la fonction w-

1232. On peut aussi considérer le plan des z comme portant, en chacun de ses points z, les diverses déterminations de la fonction Wf qui formeront divers systèmes de cotes attachées aux points z. En rangeant ces diverses déterminations w^*^, w^^^ . . . toujours dans le même ordre, de manière que les valeurs tv^*^-f-rfw^*\ w^^^H- dw^^\ . • • , correspondantes à z -h rfz, soient rangées respectivement à côté des valeurs w^*\ w^^^y . . . , correspondantes à z et dont elles diffèrent infiniment peu , on formera ainsi plusieurs couches de valeurs de çv, telles que w variera d*une manière con-

linue dans chaque couche et que, d'une couche à l'autre, les valeurs de w correspondantes au même z ou à des z infiniment voisins différeront entre elles de quantités finies.

Il s'ensuit de là que, tant que les valeurs dey( ^ ) correspondantes à un même z seront distinctes et inégales, on ne pourra pas passer d'une couche de valeurs de w k une autre par une variation continue. Donc, en vertu de la condition de continuité., ces couches seront isolées les unes des autres, comme si les diverses déterminations de f{z) formaient autant de fonctions distinctes, dont chacune serait uniforme et continue.

En d'autres termes, les courbes tracées par les différentes déterminations sur le plan des w, c'est-à-dire les différentes branches de la courbe totale des fv, ne se rencontreront jamais en un point correspondant pour les deux à une même valeur de z.

Ainsi, la condition de continuité de chaque détermination de (v isole les diverses déterminations les unes des autres.

1233. Il n'en serait plus de même si, pour une certaine valeur i^i de Zy deux déterminations w^*\ w^^^, distinctes en tout autre point, devenaient égales entre elles. Alors, en ce point Z|, rien ne distinguerait plus les deux couches de valeurs de w, et de la valeur commune Wi on pourrait passer indifféremment, sans rompre la continuité, soit à la valeur w^^ correspondante à Z2 = Zt+dz^ dans la première couche, soit à la valeur w^^^ correspondante au même ^a dans la seconde couche.

Autrement, les deux branches w^*\ w^^^ de la courbe w auraient un point d*intersection Wt correspondant à la même valeur Zt de la variable z, et, si l'on change z^ en Z| H- rfs,, rien n'indiquerait plus à laquelle des deux branches doit être attribuée chacune des

deux valeurs de Wt H — j^ dz^ de sorte que la branche BA, par

exemple [Jig» 94 )> pourra aussi bien être continuée parla branche AE que par la branche AC, si l'on n'a pas entre les deux d'autres motifs de choix que la condition de continuité de chaque détermination de çv.

Un tel point Z|, pour lequel se confondent deux ou plusieurs déterminations de la fonction çv, et auquel correspond, par conséquent, un point w% d'où partent en divergeant les diverses

86 xiVRB VI. — cnAP. III, S I.

branches de la courbe w correspondantes à un chemin quelconque de z, se nomme un point de ramification de la fonction w.

Les points de ramification et les points de discontinuité d'une

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fonction sont désignés sous le nom commun de points critiques de cette fonction.

1234. Les fonctions multiformes que Ton rencontre dans TAnalyse sont d'abord les racines d'une équation algébrique ou transcendante,

entre la fonction w et la variable indépendante z. Nous n'entreprendrons pas ici l'étude du cas général, et nous nous bornerons à considérer le cas où l'équation est résoluble algébriquement par rapport à (v.

Une autre classe de fonctions multiformes est celle des intégrales de fonctions présentant des points critiques.

1235. Étudions, pour commencer, quelques exemples de fonctions multiformes, racines d'équations algébriques.