I. Soit la fonction déterminée par l'équation
On peut l'écrire sous la forme
tvz= ^[z — c) [z -f-c).
DBS PONCTIONS MULTIFORMES. Sy
Cette fonction admet deux déterminations, égales et de signes contraires, différant par suite entre elles d'une quantité finie tant que z ne sera pas égal à zii c. Pour z ==zii c, les deux déterminations de w prennent la valeur commune zéro. Donc z=-i- cet z:= — C sont deux points de ramification de la fonction w.
Pour distinguer l'une de l'autre les deux valeurs de w, mettons les deux facteurs sous le radical sous la forme
z — c z=z rc'i'y z -h c ■= r'c'''\
cl, pour fixer les idées, supposons qu'au point z = o on attribue aux deux arguments p et p' des valeurs positives et moindres que 27r. On aura, pour la valeur de w correspondante à un ^ quelconque,
( I ) (i'=z± yjn^ e ' .
La valeur initiale de p étant choisie comme nous l'avons fait, si, pour arriver de O en un point quelconque M (Jig- gS), on fait suivre au point variable z un chemin quelconque, et si l'on imagine
Kl
Ac
JT
que des points 4-c et — c partent deux rayons vecteurs aboutissant au point z et le suivant dans tout son parcours, chacun de ces rayons décrira autour de son extrémité fixe un angle de grandeur quelconque et parfaitement déterminé. Donc chacune des deux valeurs de w, que nous avons distinguées par les signes -h et — , sera aussi parfaitement déterminée. Ces deux valeurs ne cesseront pas d'être inégales tant que les rayons r et r' seront tous les deux différents de zéro.
1236. Si l'on fait décrire à z un contour fermé quelconque, ne
comprenant dans son intérieur aucun des deux points de ramifi cation + c, — c, chacune des fonctions
étant uniforme et continue dans cette aire, on pourra lui appliquer les théorèmes relatifs aux fonctions synectîques, et en particulier celui en vertu duquel chacune de ces fonctions arrive à la même valeur lorsqu'on fait passer z d*un point z^ à un autre z suivant deux chemins différents, renfermés Tun et l'autre dans l'intérieur de cette aire. On voit aisément alors que chacun des angles /?, /;' arrivera en z avec la même valeur, quel que soit celui des deux chemins qu'on ait parcouru.
Dans ce cas, on pourra, sans changer la valeur finale de la fonction, retrancher de Taire 3, comprise dans le contour, des portions quelconques [H27], et par suite réduire cette aire à la droite qui joint les deux positions z^ et ^, pourvu que celte droite soit tout entière contenue dans l'aire 3.
Si l'on considère l'accroissement w — w^ de la fonction, correspondant au déplacement de Zj comme l'intégrale des accroissements infiniment petits correspondants aux éléments infinitésimaux du chemin suivi par z, on voit que, dans l'hypothèse admise, on pourra remplacer l'intégrale prise le long d'un chemin quelconque contenu dans l'aire par l'intégrale prise le long du chemin rectiligne aboutissant aux mêmes extrémités. Nous donnerons, ^our abréger, à cette dernière intégrale, le nom d'intégrale rectiligne prise entre les limites Zq et z.
1237. Si la droite z^z passait précisément par l'un des points de ramification c, on éviterait ce point en remplaçant une portion de droite infiniment petite, prise de part et d'autre de c, par une portion de courbe, un demi-cercle par exemple, tournée dans un sens tel que le chemin rectiligne ainsi modifié et le chemin curviligne qu'il doit remplacer ne comprennent pas entre eux le pointe.
Pour rendre ces faits sensibles par une image physique, imaginons un fil flexible étendu sur le chemin parcouru par z entre les points Zq et z, et concevons aux points -4- c et — c deux obstacles verticaux, empêchant le cordon de passer par-dessus l'un ou l'autre
de ces points. Deux positions quelconques du (il pouvant se transformer l'une dans l'autre sans rencontrer les obstacles comprendront entre elles une aire qui ne renfermera pas ces obstacles, et, par suite, les variations de la fonction correspondantes à ces deux chemins seront identiques et elles seront égales à Taccroissement rectiiigne si Ton peut redresser le fil sans rencontrer les obstacles. Dans le cas où le chemin rectiligne passe par le point c, on s'avancera sur ce chemin à partir de Zo jusqu'au point z = c -h re'*, infiniment voisin de c, a étant l'argument de Zq — c; puis on décrira du centre c et du rayon r un demi-cercle dans le sens des angles croissants ou décroissants, suivant que le rayon vecteur parcourant le chemin curviligne de z^ en z fera le demi-tour de c dans le premier sens ou dans le second. On arrivera ainsi de l'autre côté de c avec une valeur de l'argument de re'* égale à a dz tt, et, par suite, le facteur
\lz — c = ^r e* deviendra soit
soit
suivant le sens dans lequel on aura contourné le point c. D'après cela, w arrivera en z avec l'une ou avec l'autre de ses déterminations, selon que l'on aura choisi l'un ou l'autre des deux demi-cercles pour remplacer le diamètre commun. Dans tous les cas, on aura le moyen de distinguer quel est celui qu'il faut choisir.
1238. Si l'on fait décrire au point z, autour du centre -hc, un cercle assez petit pour ne pas contenir d'autre point critique que
H-c, l'angle p variant de aTT, - variera de n, et par suite ^r*e
sera multiplié par e'* = — i . Donc, après avoir parcouru ce cercle, la valeur de w aura été multipliée par — i et aura changé de détermination. Il en sera de même si z fait le tour de — c.
Si z parcourt une courbe fermée faisant n fois le tour de -j- c et n! fois le tour de — c, les tours étant comptés positivement ou négativement suivant le sens du parcours, les deux facteurs de w
90 LIVBB VI. — GIIAP. III, § I.
seront respectivement multipliés par
,«fC ' i *« g^''-
et par suite w sera multiplié par ( — 1)'»+*'. Donc w changera ou ne changera pas de détermination , suivant que le nombre n + //' sera impair ou pair.
1239. Supposons que w parte de Torigine avec une certaine détermination, qu^il se dirige vers un point critique c suivant un chemin rectiligne, qu'arrivé à une distance r de c, moindre que celle de c au point critique le plus voisin et que nous pourrons supposer ii^iniment petite, il quitte la droite Oc et décrive autour de c une circonférence entière qui le ramène sur la droite, et enfin qu'il revienne en O suivant la même droite. Le chemin ainsi parcouru sera dit un contour élémentaire, et nous désignerons par (c) le contour élémentaire relatif au point critique c.
Si c, comme dans l'exemple actuel, est un point de ramification, w changera de détermination en parcourant le cercle qui entoure c. et, par suite, reviendra en O avec une valeur différente de celle qu'il avait au départ.
1240. Supposons maintenant un chemin quelconque, conduisant d'un point initial Zo à un point final z et entourant les divers points critiques c, c', (/\ « • • d'une fonction donnée w chacun un nombre quelconque de fois, et concevons, comme précédemment, un fil flexible appliqué sur ce chemin et des obstacles placés aux divers points critiques. Si Ton tend le fil, il commencera par se serrer autour des obstacles, en les entourant chacun un certain nombre de fois et en laissant entre eux des portions rectilignes. Détendons maintenant chacune de ces dernières, de manière à la remplacer par deux cordons rectilignes allant du point initial Zq k chacun des deux obstacles. Nous aurons une transformation analogue à celle que représente la Jig. 96. Les fils tendus entre les points critiques et le point initial Zq se changeront, à la limite, en contours élémentaires, dont la partie circulaire sera parcourue un nombre quelconque de fois, positif ou négatif.
De cette manière, on pourra remplacer tout chemin de nature quelconque, allant de Zq en z, par un système de contours élémen-
laires relatifs aux divers points critiques, lesquels devront être parcourus dans un ordre déterminé et chacun dans un certain sens et un certain nombre de .fois, ce système étant suivi d'un chemin
Fie. 96.
rectiligne allant de Zq à z, en évitant, s'il y a lieu, les points critiques, comme nous l'avons vu plus haut.
On voit donc qu'une fonction multiforme w, partant d'un point donné Zq avec une détermination désignée, peut arriver en un autre point donné z avec telle ou telle détermination, suivant la nature du chemin parcouru par la variable z, et que, dans tous les cas, on pourra remplacer un chemin quelconque par un chemin composé d'une certaine combinaison des contours élémentaires relatifs aux divers points critiques, ces contours étant parcourus chacun un nombre de fois déterminé et dans un ordre convenable ; puis d'un chemin rectiligne allant du point initial au point final, en évitant, dans un sens convenable, les points critiques qui pourraient se trouver sur son parcours.
1241 . IL Prenons pour second exemple la fonction
92 LIVBB VI. — CUAP. III, § I.
Nous aurions à répéter sur cette fonction une grande partie de ce
que nous avons dit à propos de la fonction \]z* — c^j dont la fonction (i) est un des facteurs. Ici c est le seul point de ramification situé à distance finie; mais il existe encore un second point de ramification, le point de Tinfini, z = oo .
En effet, si nous posons, en introduisant le rayon réciproque
[m 4], z=: -? il viendra
En faisant
il viendra
z' — Jv^P, 1 — cz'—r'e^i*\
expression qui change de signe si Ton fait le tour du point ^'=0. Donc z!=.o ou z =: 00 est un point de ramification delà fonction
-, — c ou s'z — c.
Si Ton appliquait la même transformation à la fonction
qui deviendrait
iv=z\ji — c^z'\
les points 3'= zh - étant tous les deux en dehors du cercle infiniment petit tracé autour de 3'= o, la fonction w ne changerait pas de détermination en faisant le tour de ce cercle. Donc ici 5 = 00 n^est pas un point de ramification.
On pourrait dire que ce point z'= o est le point où coïncident
les points de ramification des deux facteurs -j = de çv, et
que ces deux points de ramification se neutralisent mutuellement, parce qu'on ne peut faire le tour de l'un sans faire en même temps le tour de l'autre, et que les deux changements de signe simultanés de la fonction w se compensent.
Du reste, pour la fonction (1) <v = ^z — c, la présence du se-
cond point de ramification z = oo n'influe en rien sur la marche de la fonction, puisque toute révolution autour de Tun des deux points o et 00 est en même temps une révolution autour de Tautre.
1242. III. En appliquant les mêmes raisonnements à la fonction
Il jt
on verra de la même manière que z = oo est ou n'est pas un point de ramification de w^ suivant que n est impair ou pair, de sorte que, pour /i = 2v — i comme pour /i= 2V, le nombre total des points de ramification sera toujours 2v. Ainsi les deux fonctions
ont l'une et l'autre quatre points de ramification.
Dans le cas de w=2V — i,le contour qui enveloppe le seul point ^ = 00 sur la sphère peut être considéré comme enveloppant, de l'autre côté, tous les 2V — i autres points de ramification.
1243. IV. Considérons encore la fonction à trois déterminations
W = \'[Z — Ti i (3 — fj) (3 — Tj I.
En posant
w prendra la forme
On voit qu'une révolution autour du point C| augmente l'argument de w de -^5 deux révolutions l'augmentent de -y? et trois révolutions l'augmentent de stt, ce qui ramène (v à sa première
valeur. Ainsi, en désignant par a =: e ' une des deux racines cubiques complexes de l'unité, si l'on fait /i| révolutions autour de C|, /la autour de Co, fit autour de c^, (v se trouvera multiplié par
tri 4«j
a"i+''t"*"''«, c'est-à-dire par un des trois facteurs i, e • , e • , su4vant que Ton aura
/i|-h //t+ /îj^o, I, 1 (mod.Sj.
1244. V. Si Ton avait pris
en faisant ^ = -,9 il viendrait
ou, en posant z'== re^P^
II'
On verrait alors, comme précédemment, que, si Ton fait le tour (dans le sens rétrograde) du point O' du plan antipode [1114],
sv se trouvera multiplié par e • , de sorte que z'=. o ou c = » est encore un point de ramification.
1245. VI. En général, si Ton considère la fonction
iV zn z" ^
— étant fractionnaire, O sera un point de ramification, puisque, en
m n posant z = re^Pj on aura
et, si la fraction — est irréductible, w sera une fonction à n dé-
termina tions.
Si Ton pose maintenant z = - et z'= 1^ éP\ alors
d'où l'on voit que w change encore de détermination lorsque z fait
le tour de z'=o. Donc J ■=• o ou 2 = 00 esl encore un point de ramification.
On peut remarquer ici, comme au n** 11, que, si Ton considère la représentation sur la sphère, chaque révolution directe autour de z = o est en même temps une révolution rétrograde autour de ^'=0; de sorte que, lorsqu'on fait le tour de Torigine,. on peut considérer ce chemin comme faisant le tour, dans le sens opposé, du point àTinfini.
4246. VIL Si Ton a
<i' r= V ( 3 — Cl ) . . . ( 3 — rv„ )
= 3 " y ( I Cj i ] . . . [ I — t',;, 3 ),
— étant fractionnaire, -s'=o ou 2=00 sera un point de ramification, et si Ton décrit en sens direct un chemin renfermant dans son intérieur tous les points de ramification C|, • . . ,Cm) on pourra considérer ce chemin comme entourant le seul point oo , dans le sens rétrograde par rapport à ce point. ^
1247. VIII. Lorsque, dans l'exemple précédent. A" des points de ramification Cf, • • . , c^ viennent à coïncider, alors la valeur de \v peut se mettre sous la forme
et l'on voit qu'une révolution autour de C| équivaut à A révolutions autour d'un point de ramification simple ou à une révolution suivant une courbe embrassant dans son intérieur h points de ramification différents.
Si - est entier, c^ cessera d'être un point de ramification.
On voit maintenant sans peine comment on discuterait le cas d'une fonction formée par l'addition de plusieurs fonctions multiformes, ou plus généralement par la combinaison de plusieurs opérations algébriques multiformes quelconques.
()(> LIVBB VI. — CIIAP. III, § II.
DES llfTÉGRALES MULTIFORMES.
1248. Étudions maintenant l'autre classe de fonctions multiformes dont nous avons parlé au n° 1234, celle des fonctions provenant de rintégration d'une fonction algébrique uniforme ou multiforme présentant des infinis.
Soit f{z) une fonction de la variable z, et supposons-la d'abord uniforme et continue à l'intérieur de l'aire 3, sauf en certains points C|y C2y . . . de cette aire, où elle présente des infinis proprement dits.
Supposons que l'on fasse suivre à la variable z une ligne continue 3, tracée d'une manière quelconque entre deux points donnés Zq et Zf dans le plan des z ou sur la sphère de référence ; nous appellerons cette ligne le chemin d'intégration. Si l'on fait la somme des produits de chaque élément dz de ce chemin par la valeur correspondantey*(z) de la fonction, la limite de cette somme sera l'intégrale de la fonction, correspondante au chemin d'intégration 3.
Pour que l'intégration soit toujours possible, il faut que le chemin d'intégration 3 ne passe par aucun point dans le voisinage duquel à une variation infiniment petite dz ne corresponde pas une variation infiniment petite de l'intégrale elle-même, comme cela pourrait avoir lieu si la fonction y(^) devenait infinie en ce point. Nous supposerons toujours que, si le chemin d'intégration contenait un tel point, on l'éviterait en faisant un détour infiniment petit, sauf à discuter l'influence que le sens dans lequel on a fait ce détour peut avoir sur le résultat.
Lorsque le chemin 3 se réduit à une ligne droite, l'intégrale est dite V intégrale rectiligne de la fonction /(^)rfz, prise entre les limites Zq et z, et nous la représenterons simplement par la notation
f[z)dz.
1249. Si entre la droite Zq z et le chemin 3 il ne se trouve aucun point critique de la fonction f{z)j nous avons vu [1125] que les
