DES INTÉGRALES MULTIFORMES
intégrales prises le long des deux chemins ont là même valeur. Donc l'intégrale prise le long de 3 pourra, dans ce cas, être représentée aussi parla notation / f[z)dz.
Si, au contraire, l'aire comprise entre 3 et la droite z© z renferme un ou plusieurs infinis C|, C2, ... dej'(z)y nous avons vu que la difiiérence entre l'intégrale prise suivant 3 et l'intégrale rectiligne
est la somme des intégrales 1 9 1 5 • • • prises autour de ces infi-
nis. Cette différence restera constante, tant que z variera de manière que l'aire comprise entre les deux chemins contienne toujours les mêmes infinis, et que les deux chemins d'intégration entourent chaque infini le même nombre de fois.
Pour plus de clarté, nous commencerons toujours, ainsi que nous l'avons fait plus haut, par remplacer le chemin 3 par le chemin rectiligne, précédé des contours élémentaires relatifs aux divers points critiques renfermés entre 3 et le chemin rectiligne, en tenant compte du nombre de fois que chaque contour élémentaire est décrit, et du sens dans lequel il a été décrit chaque fois .
Si le chemin rectiligne passait lui-même par un des points critiques, on éviterait ce point au moyen d'un demi-cercle infiniment petit décrit autour de ce point comme centre et tourné dans un sens convenable, la valeur de l'intégrale rectiligne variant généralement avec le sens que l'on a choisi pour ce demi-cercle.
1230. On voit que l'intégration d'une fonction uniforme y (z), qui a des infinis, engendre une fonction multiforme, susceptible de prendre en chaque point donné du plan une infinité de valeurs, dont les différences dépendent des chemins parcourus parla variable d'intégration et sont exprimées par des sommes de multiples, positifs ou négatifs, des intégrales prises autour de ces divers infinis.
Chacune de ces dernières intégrales s'appelle une période de
l'intégrale ff[z)dz. Ainsi, si l'on représente par / f[z)dz
l'intégrale rectiligne et par 1 > i ? • • • les périodes correspon-
dantes aux infînis C| , Cj, ... compris entre le chemin d'intégration 3 et le chemin rectiligne, la valeur générale de l'intégrale y /*( 3 )r/^,
pour un chemin quelconque 3 allant de Zq en z, sera
72 1, 722) • • • étant des entiers positifs, nuls ou négatifs.
1251. Lorsque, après avoir fait le tour d'un infini c, la variable z revient à sa première position, l'intégrale u aura crû de 1 > et, par
suite, elle aura changé de détermination si 1 n'est pas nul.
Si, après avoir parcouru un chemin Zq c et avoir fait le tour de c sur le cercle infiniment petit, z revient en Zq suivant le même chemin, u aura changé de détermination et décrira, par conséquent, sur son plan ou sa sphère de représentation, une courbe différente de la première. Quand le point correspondant à c est un infini de u, les deux branches de courbe décrites sur la sphère des u partiront du pôle inférieur. Dans tous les cas, la courbe décrite par u se ramifie à partir du point u correspondant à c ; donc ce point c est généralement un point de ramification de la fonction u,
1252. Des intégrales prises le long d'un contour élémentaire. — Soit c un point critique de la fonctiony(z), et considérons le contour élémentaire formé d'un cercle infiniment petit tracé autour de c et d'une droite joignant le point initial Zq de l'intégrale Jf[z)dz à un point de ce cercle. On pourra, comme dans le n** 1240, considérer ce contour élémentaire comme la limite d'un chemin composé des deux parallèles infiniment voisines ZqA et Gzo, et de l'arc ABC [fig* 97)» infiniment peu différent de la cir-
Fig. 97-
conférence entière. L'intégrale prise le long du contour élémentaire sera la limite de la somme des trois intégrales
/(^,A)h-/(ABC) + /(C*o).
DBS INTÉGRALES MULTIFORMES. 99
Supposons d'abord que le point critique c ne soit pas un point de ramification. Alors, en revenant, après avoir fait le tour du cercle, à une position C infiniment voisine de A, la fonction f{z) reprendra, à la limite, la même valeur qu'en A, et les éléments de rintégrale le long du chemin C^o seront égaux et de signe contraire à ceux de l'intégrale le long de Zo A. Donc les deux intégrales f{zoA)elf[CzQ) se détruiront, et l'intégrale prise le long du contour élémentaire se réduira à la seule intégrale y(ABGA), c'està-dire à l'intégrale / prise autour de c, comptée positivement ou
négativement selon que le cercle sera parcouru dans le sens direct ou dans le sens rétrograde.
1253. Suppoisons maintenant que f{z) soit une fonction multiforme, ayant un point de ramification en c. L'intégrale prise le long du contour élémentaire, parcouru dans le sens direct, sera, comme précédemment, la limite de la somme
/(z,A)+/(ABC)+/(Cz,).
Or, en passant de A au point infiniment voisin G, la fonctiony(?) aura changé de détermination, et, si elle est partie de A avec la valeur y, (^), elle aura en G une autre valeury2(^)» On aura donc
Donc la somme /{zqA) -hf{Czi)) aura pour limite
[Mz)-A{z]]dz,
ce qui ne s'annulera pas, comme dans le cas précédent. Si Ton a y^C^) = — fi (^)) cette somme sera égale à
Jf^[z)dz = '-7. i A[z)dz,
Quant à rintégrale /(ABG}, elle peut, suivant la nature de la fonction y, être ou nulle ou différente de zéro.
Si l'on avait parcouru le contour élémentaire dans le sens opposé,
lOO LIVRE VI. — CHAP. III, § II.
en partant de Zq avec la même déterminationyi (z), la partie recliligne de Tintégrale serait toujours
[Â{^]'-ft{z)]dz;
mais rintégrale circulaire y (ABC) serait remplacée par l'intégrale
de signe contraire
/(CBA).= -/(ABC).
Si rintégrale circulaire est nulle, l'intégrale prise le long du contour élémentaire sera indépendante du sens dans lequel ce contour sera parcouru.
1254. Soit un point de ramification c, et soit T l'intégrale prise le long du contour élémentaire (c) correspondant à ce point. Supposons l'intégrale circulaire / nulle, et la fonction y( 2) susceptible des deux valeurs égales et opposées /"i (z) ety2(^) = — fi i^)-
Après que l'on aura parcouru une première fois le contour élémentaire, la fonction f{z), partie de Zq avec la valeur yi(z), y reviendra avec la valeur — f [z). Si l'on parcourt maintenant de nouveau le contour élémentaire, l'intégrale, prise en partant de Zo avec la valeur — /*, (z), aura tous ses éléments égaux et de signe contraire à ceux de l'intégrale précédente ; elle aura donc pour valeur — r, et par suite, en l'ajoutant à la première, on aura zéro pour l'intégrale correspondante à deux parcours consécutifs du contour élémentaire.
On verra de môme que, si l'on fait m intégrations consécutives le long du contour (c), le résultat sera égal à
c'est-à-dire à F ou à zéro, suivant que m sera impair ou pair.
1255. Soit (/ un second point de ramification de la même fonction biforme, et supposons-le tel quey(c') (*) soit égale à — f{c) lorsque les deux intégrales sont prises en partant de la même dé-
( ') Ea désignant par /(c') l'intégrale pri^e le long du contour élémentaire (c').
DES INTEGRALES MULTIFORMES. lOI
termination de J{z), Après que Ton aura intégré le long de (c), f{z) aura changé de signe, et /{cf), calculée en partant de la détermination — f^ (z), aura pour valeur -h F. Doncy(c), suivie de y(c'), donnera pour valeur a F. On conclut de là que, si Ton fait une série de n intégrations consécutives en parcourant tour à tour d^abord le contour (c), puis le contour (c/), on aura pour résultat -4- «F.
Si, au lieu de commencer cette série d'intégrations par le contour (c), on avait commencé par ({/), le résultat aurait été — /îF.
Exemple. — Soit l'intégrale
* riz
La fonction sous le signera deux points de ramification, +c et — c. Supposons que le radical parte de z = o avec la valeur H- c. Si Ton intègre le long du cercle infinitésimal qui entoure le point c, en posant
c — z=z r&t'^ d'où dz=z — re'P . i dp, Fintégrale sera
[ ~)J~r&P[ic — re^P) "" j^ ^i c - r&P '
et sa valeur s'annulera évidemment avec r. L'intégrale circulaire étant nulle, on pourra donc appliquer le résultat précédent. Donc, en intégrant n fois de suite le long des contours respectifs (+ c), ( — c), (-f-c), . . . , ([ — ij"""*c), on aura pour intégrale totale
C"" dz
Au contraire, si l'on avait pris les contours élémentaires dans l'ordre
la valeur de l'intégrale totale aurait été — /iF.
On voit, dans ce cas, que, sans changer l'intégrale rectiligne
lOa LIVRE VI. — GHAP. III, § II.
f{zoZt)y on pourra augmenter ou diminuer Fintégrale curviligne / f{^)^^ ^'"^ multiple quelconque de F.
Lorsque deux points de ramification jouissent des propriétés des deux points c, d dont nous venons de parler, nous leur donnons le nom de points de ramification complémentaires.
