EXEMPLES D^ INTÉGRALES PÉRIODIQUES
1256. I. Soit l'intégrale
La fonction - ayant un infini pour z = o, ce point sera un point
critique de l'intégrale u.
Si nous posons
dz zz=re^P, d'où dzz= ire^Pdp, — = idp,
rintégrale circulaire prise autour du point z = o sera
i dp z= a/TT.
Ce sera là la période de l'intégrale proposée, dont la valeur gêné-
X^ dz — ^ plus
un multiple quelconque, positif ou négatif, de cette période.
1257. IL L'intégrale l - " , a deux points critiques, correspondants k z = ±i. En posant c = ±i et z — c = re'P, on aura, sur un cercle décrit autour de c,
dz = ire' P dp,
i —z*r=c^^ z*— [c'hz)[c — z) —— {ic-Ji- re^P)re'P;
EXEMPLES d'intégrales PÉRIODIQUES. Io3
donc [H29]
J(* dz ■ I .1 =.7.11: hm [z — c] -z = — 2^77--- r=ir: fTT.
Donc les deux périodes de l'intégrale sont égales au signe près; par suite, la valeur générale de l'intégrale prise entre les limites Zo et z sera
f \ ,-+-W|(— /7r)4-w,(-hiTr),
//i et /Za étant des entiers quelconques, ou, plus simplement,
r* dz
l'entier n étant égal au nombre de fois que le chemin d'intégration a entouré (dans le sens direct) le point — i, moins le nombre de fois qu'il a entouré le point -f- 1, les tours faits dans le sens rétrograde devant être comptés négativement.
On verrait de même que la valeur générale de l'intégrale / j
est
' dz
/ÏTT,
Cette intégrale et la précédente sont des cas particuliers de l'intégrale
Ç' dz
qui a les deux points critiques
En posant i — e'*z = re'>, l'intégrale prise autour de c^,
aura pour limite correspondante à r = o
— ITT <?-'•,
I04 LlVftB VI. — CHAP. III, § III.
et, de même, Tintégrale prise le long de Tautre point critique sera
iize-'*
Ces deux périodes étant égales et de signes contraires, on en conclut que la valeur générale de l'intégrale sera l'intégrale rectiligne, plus un multiple quelconque de ii:e~
En faisant tour à tour a = o et a = -> on retrouvera les résul-
tats relatifs aux deux intégrales précédentes. 1258. III. Soit rintégrale
mz -f- n
z*'^- az-i- ô
que Ton peut mettre sous la forme
mz -h n
dz.
Les intégrales prises autour des deux points critiques Ci, Cf auront pour valeurs respectives
' = IITZ^ I = 2 « TT.
L'intégrale a donc deux périodes différentes tant que, les deux quantités C|, c^ étant différentes, m ne sera pas nul. On a donc ici un exemple d'une intégrale à double période dont la valeur générale est égale à l'intégrale rectiligne augmentée de multiples quelconques ftj 1 -f fjL2 / des deux périodes.
Si m = O, alors les deux périodes, étant égales au signe près, n'en feront plus qu'une seule, comme dans le cas précédent.
1259. IV. Considérons maintenant l'intégrale d'une fonction multiforme
* dz
Les points de ramification z-=-\-i et z := — i sont en même temps des infinis de la différentielle.
INTÉGRALE CIRCULAIRE. Io5
Si nous posons
z — c = re'P^
c représentant zfc i, l'intégrale prise autour de c aura pour valeur
Jo V — re'Piic -f- re^P ) Jo
dp
et, pour r infiniment petit, cette expression a évidemment pour limite zéro. Donc ici les deux intégrales circulaires sont nulles.
Si maintenant on suppose que le radical parte du point z =o avec la détermination -f- 1 , l'intégrale rectiligne prise de z = o à z = 1 — r aura, pour r infiniment petit, une certaine limite, que nous désignerons provisoirement par x.
Après que z aura fait le tour du point + i , ^i — z^ aura changé de détermination, et, d'après ce que nous avons vu au n^ 1255, l'intégrale prise de -f- 1 à o aura encore la valeur x, de sorte que l'intégrale relative au contour élémentaire (-H i) aura pour valeur
H- 2x, lorsqu'on suppose à ^i — z^ la valeur initiale 4- i.
On verrait pareillement que, dans la même hypothèse, l'intégrale relative au contour élémentaire ( — i) aura pour valeur ax.
On conclut de là, comme au n^ 1255, que, si l'on parcourt alternativement les deux contours élémentaires, en prenant +i pour
valeur initiale de ^i — z^, la somme des intégrales élémentaires, après n parcours, sera zh 2/2x, suivant que l'on aura commencé par le contour (-h i) ou par le contour ( — i).
Si l'on parcourt le même contour, (-f-i) par exemple, m fois consécutives, le résultat sera, d'après ce que nous avons vu,
I — f — iV"
c'est-à-dire ax ou zéro, suivant que m sera impair ou pair. Après
ces m parcours , v^i — z^ se trouvera multiplié par ( — i)*" ; si l'on fait maintenant mi fois le tour de ( — i), on ajoutera à la valeur précédente
ce qui donnera en totalité
X— 2(— l)'«x-h(— l)'«-^"*ix.
Jo6 LJVAB VI. — CHAP. III, § III.
Si Ton fait ensuite ma fois le tour de (-h i), le radical partant de o avec la valeur ( — i)"*"*"'"i, on ajoutera à la valeur précédente ^ — i)'"+'"«[îc — ( — i)'"«x], ce qui donnera en totalité
Et ainsi de suite.
On voit que cette expression représentera toujours un multiple pair de x, et que, de plus, on pourra toujours disposer du nombre (les changements alternatifs de contours et de la parité de chacun des nombres m, 7714 , ... , de manière que la partie de l'intégrale ajoutée à l'intégrale rectiligne soit égale à un multiple quelconque de 2«e.
1260. Il est facile de déterminer cette intégrale 2x, en nous appuyant uniquement sur le théorème de Cauchy [H24]. En effet, cette intégrale est égale à l'intégrale prise le long d'un contour fermé quelconque, renfermant dans son intérieur le seul point critique -|- i . Prenons pour ce contour celui d'un demi-cercle de centre O, de rayon r infiniment grand, et ayant son diamètre dirigé suivant l'axe des y. L'intégrale prise le long du demi-diamètre à partir de O, suivant le sens direct, sera, en posant z = iyj
.'o i/l — s* Jo
V^i — s* Jo sji-^jr^
li^ désignant une valeur positive quelconque. L'intégrale prise le long de la demi-circonférence sera, en posant z = /-e'^.
expression qui, pour r infiniment grand, a pour valeur ±: tt -f- c , 6 étant infiniment petit. La troisième partie de l'intégrale sera
Jir zL^l- z* Jr )/l-hX*
//^ ayant la même valeur que ci-dessus. En égalant la somme de ces trois intégrales à l'intégrale positive 2x, prise le long du contour
