INTÉGRALE CIRCULAIRE. I
(-h i), on aura
.d'où, en égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires, et négligeant Tinfiniment petit S, on déterminera les signes ambigus, et l'on aura
r2y. rrr r, x ==: - •
1S61. Ainsi l'intégrale prise le long d'un des deux contours élémentaires est égale à ±7:. Si, avant de former l'intégrale rectiligne
r' dz u= I -
Jo i/l — z*
on parcourt un seul contour élémentaire, et que l'on intègre ensuite rectilinéairement de o à z, le radical ayant changé de détermination, l'intégrale rectiligne changera de signe, et l'on obtiendra pour résultat
Si, au lieu d'un seul contour, on en parcourt deux, soit deux fois le même, soit deux contours différents, le radical reprenant son premier signe, on obtiendra pour l'intégrale totale
TT iriTr -H tt,
c'est-à-dire une des trois valeurs
En continuant ce raisonnement, on verra qu'à une limite supérieure donnée z correspondent des valeurs de l'intégrale des deux formes
ou, ce qui revient au même, de la forme
niv-h (— i)«i/.
126S. V. Étudions enfin l'intégrale elliptique de première espèce
dz
OÙ ToD a posé
k^ étant un nombre positif et moindre que Tunité.
Les infinis de la difTérentielle, db i et ±l -9 sont en même temps
des points de ramification, comme dans Texemple précédent.
Comme les points -I- 1 et — i se trouvent respectivement sur les droites qui joignent l'origine zéro aux deux autres points critiques
H- - et — -7? il faudra, dans les contours élémentaires relatifs à A* A-
ces derniers, éviter les premiers par un détour infiniment petit, que nous supposerons fait suivant deux demi-circonférences situées la première au-dessus, la seconde au-dessous de Taxe des x, de manière à laisser Tun et l'autre des points ± i sur sa droite, en
allant de o à zh - •
Cela posé, imaginons que R (^) parte de zéro avec la valeur + i et parcoure le contour élémentaire (H-i). L'intégrale prise de zéro à i — /',
r""' dz I C'"' dz
croît continuellement pour r décroissant. Le premier facteur est toujours compris entre i et -, le second a pour limite - •
Donc l'intégrale a une limite finie, plus grande que -• Nous désignerons cette limite par
C dx
Faisons maintenant
,2 — „pi>^ d'où R(z) = r«c»'^\/Z,
Z désignant un polynôme du troisième degré qui n'est pas nul dans le voisinage de z = -|- i . Il viendra
dz r-e* idp
INTEGRALE ELLIPTIQUE. lOQ
et, par suite, Tintégrale circulaire
tendra, pour /• infiniment petit, vers la limite zéro. Après avoir fait le tour du point -\-i',p ayant crû de 2:1 et Z
ayant repris sa première valeur, le facteur e*'^' aura changé de signe, et, par suite, R(^) aura changé de détermination. Donc
--T— r sera égale en grandeur et en signe à l'intégrale
X^ fiz — 7— r = K, et, par suite, R(^) reviendra en O avec
la valeur — i , et l'intégrale prise le long du contour élémentaire (4- 1 ) sera égale à -h aK [1255].
On verrait de même que, si Ton fait le tour du point — i, R(^) partant toujours de O avec la valeur -+- 1, l'intégrale reviendra en O avec la valeur — 2K.
Si l'on désigne par u la valeur de l'intégrale rectiligne
où R(^) part de O avec la valeur h- i, et que, au lieu de commencer par décrire le chemin rectiligne O^, on décrive d'abord le
contour élémentaire (-h i), l'intégrale 1 se composera de l'inté-
grale y^-f- 1) = aK, plus l'intégrale rectiligne, où R(^) partira cette fois de O avec la valeur — i, et qui aura, par suite, pour valeur — u. Donc l'intégrale totale sera égale à aK — 11.
Si Ton parcourt deux fois de suite le contour (-f- 1), la seconde intégrale prise le long de ce contour détruira la première, et l'in-
tégrale I redeviendra égale à u.
Mais si l'on parcourt d'abord une fois le contour (-f- 1)1 puis une fois le contour ( — 1), la somme des deux intégrales correspondantes sera 4- 4^9 ^^ ^(^) ^^^^^ revenu en O avec la valeur -f- 1 ,
rintégrale i aura pour valeur 4K -+- u. Et ainsi de suite, comme
Je dz I - ^r" 0 v'i — z^
1263. Considérons maintenant le contour élémentaire (-Ht)*
Nous avons dit que la partie rectiligne de ce contour devait faire un détour pour éviter le point H- i . Apprécions l'influence de ce
détour.
Le point z, arrivé en i — r, s'écarte alors de la droite Oi et prend une valeur i -h re*^, p devant varier de it à o, en contournant -+- I dans le sens rétrograde. D'après cela, le facteur ^i — z
de R(^) prendra la forme yj — re^, et l'intégrale i iv T »? prise le
1 r^'e^^dp ong du demi-cercle, deviendra de la forme ±: /M — -r-" » Z étant
le même polynôme que tout à l'heure.
Le dénominateur \JTj ne change pas de signe pendant que z varie de I — r à I -f- r ou que p varie de tt à o. Son signe sera -+si l'on suppose, comme nous pouvons le faire, que l'autre facteur
^1 — z soit parti de O avec la valeur -h i . Dans ce cas, pour p=n, ^i — z = ^ — re^P = ±: ^* li cos - — sin - j doit être réel et positif, ce qui exige que l'on prenne le radical avec le signe — . Dès lors,
i/ 1 — 3 = — ^rli cos - — sin - )
prendra, pour z =:^i-f r ou p = o, la valeur — iy/r, c'est-à-dire une valeur imaginaire négative de la forme — ih^. Le radical
R(z) sera donc aussi de la même forme entre -i- i et -h y» et, par
suite, :;r-r-^ sera dans cet intervalle de la forme +i7i^. Il en sera donc
de même de l'intégrale '
INTEGRALE ELLIPTIQUE. III
qui tend, comme il est facile de le voir, vers une limite finie. Nous désignerons cette limite par ( ' )
Donc la valeur de rintégrale sur la partie rectiligne du contour
-f-ij sera(») ^
* dz
K -+- iK'.
Si Ton achève de parcourir le contour élémentaire ( -*- 7 ) en
revenant en O par le même chemin rectiligne, c'est-à-dire en évitant -h i au moyen d'un demi-cercle supérieur, on verra qu'ici encore l'intégrale circulaire sera nulle et la seconde intégrale
rectiligne i sera égale à la première. Donc l'intégrale relative au contour élémentaire ( -<- 7 ) a pour valeur (^ )
( ') Si Ton pose A'» = 1 - A« et «" = ' -„, rintégrale f 5^ deriendra
Jo \Ji—z'-}/i'-k"z'*
K' étant ce que devient K lorsqu'on remplace A par k'.
(* ) Si Ton avait évité le point -+■ 1 au moyen d'un demi-cercle situé an-dessous de l'axe Oxy on aurait eu pour l'intégrale semi-circulaire une valeur de sens contraire; Z au-
rait été de la forme +iA' entre h-i et -H-:)Ct I aurait eu pour valeur — l'K',
d'où f =K — iK',
(') Si l'on avait suivi les deux fois le demi- cercle inférieur, on aurait trouvé cette intégrale = aK — 3 «K'.
112 LIVRR VI. — GHAP. III, § III.
Le contour élémentaire ( — j\ étant symétrique du contour
|-4--r) par rapport à Torigine, 1 ( — -r ) sera égale et de signe contraire à / ("^ t) » ^^ P*r suite, sa valeur sera — 2K — 2iK'.
1264. Supposons actuellement que z, partant du point O, suive Taxe des x positifs, en passant au-dessus des deux points de ramification + 1 et H- T9 jusqu'à une distance infiniment grande r;
j>uis, qu'il décrive autour de O un quart de cercle de rayon r, jusqu'à la rencontre avec l'axe des j' au point z = ir; et enfin qu'il revienne en O en suivant l'axe des j^. Le contour suivi ne renfermant dans son intérieur aucun point critique, l'intégrale prise le long de ce contour devra être nulle.
Or, de O à -) l'intégrale est égale à K 4- iK'. De - à la valeur
infiniment grande r, l'intégrale différera infiniment peu de sa limite
qui est finie et réelle, le produit (i — ^^)(ï — k^z^) étant positif
pour -2 ^ Tî et dont nous désignerons provisoirement la valeur
par G.
Le long du quart de cercle, R(z) sera de la forme
=:A-r*e*'>(i-h^), $ étant infiniment petit pour r infiniment grand; par suite,
^e-^Pfrfn
s'annule pour r = 00 . Donc l'intégrale arrivera au point -h /r, sur
INTEGRALE ELLIPTIQUE. Il3
Taxe desj^', avec la valeur
L'expression précédente du radical, /rr^e^'/'(i -f- 5), montre que,
lorsque p croît de -> le radical est multiplié par e" = — i, et par
suite il change de signe. Gomme il part de O suivant l'axe des y avec le signe -h et qu'il est réel le long de cet axe, il devra être négatif pour z = l'infini réel ; donc G est négatif. De ira O, l'Intégrale croîtra de la quantité
V^(i-^J*)(i-+-/cV')
dont la valeur sera de la forme — iH, H étant réel et positif*
Donc l'intégrale prise le long du contour fermé tout entier sera
K-f-iK'4-G — /H,
ot, celte intégrale devant être nulle, on en conclura les valeurs de G et de H, savoir ( ' )
Jo Miy) Jo Vtl4-J*)(H->J*) 1265. Désignons, pour abréger, par
les intégrales correspondantes aux contours élémentaires (-î- i) et l-f- j) > ce dernier ayant été choisi, comme nous l'avons dit, de manière à passer au-dessus de + i ; les intégrales relatives aux contours ( — i ) et ( — t ) » symétriques des premiers par rapport
(*) On obtiendrait directement les valeurs de ces deux intégrales en posant, dans G,
H. — Cours de Cale, in fin., IV. O
Il4 LIVRE VI. ^ CHAP. III, § III.
à O, seront — X| et — Xj, la fonction R{^) étant supposée, pour chacune de ces intégrales, partir de O avec la valeur -f- 1. En désignant toujours par
rintégrale rectiligne allant au point Zy l'intégrale prise le long d'un chemin entourant une seule fois le point H- 1 sera égale
Si Ton fait deux fois le tour de (-h i), l'intégrale sera
En général, si l'on fait m fois de suite le tour de (-4- i), l'intégrale sera
lx,-(-.)".(i.,-«)
Si l'on fait une fois le tour de (-h i)* puis une fois le tour de ( — i), l'intégrale deviendra
2Zi -h u.
Si l'on répète m fois le parcours alternatif des deux contours élémentaires, l'intégrale sera
-+- 2//l5t, -h u ou — 2/WXi -f- «,
suivant que l'on aura commencé par (-h i) ou par ( — i).
Si l'on parcourt alternativement les deux contours, de manière à décrire m -h i fois le premier et m fois le second, l'intégrale sera, suivant que Ton aura commencé par (-H i) ou par ( — i),
iiz(2m -h i;Xj — «.
On aura des résultats analogues pour les contours ( ± - J •
On voit par là que, si l'on parcourt les quatre contours chacun un nombre de fois suffisant et dans un ordre convenable, on obtiendra pour l'intégrale résultante une valeur de la forme
/WK, H-/ÎX, -f-( — ty"-*-"uy
