INTÉGRALE ELLIPTIQUE. U

OU, en mettant pour X| et X2 leurs valeurs,

m et n étant des entiers quelconques, positifs ou négatifs.

En particulier, l'intégrale rectiligne u conservera son signe si le nombre m-f-/i est pair. Si on le représente par ap, l'expression générale (i) deviendra

(9.) 4.tiK4-2///K'4-«.

Donc, si l'on arrive au point z après avoir parcouru une ligne entourant alternativement ^fx — n fois chacun des deux points -f- i

et — I , puis n fois chacun des deux points -H - et — -j l'intégrale

ri K

obtenue sera égale à l'intégrale rectiligne augmentée de

4pK-f-2/ïiK\

2fA — n eln étant des nombres positifs ou négatifs, suivant que les parcours commencent par les chemins (H-i) ou ( — i), ( -f- 7 )

ou(-i).

Donc à un même point z correspondent des valeurs en nombre

1 différant entre elles par des multiples

quelconques de 4K. et de 21K'. Ces deux quantités constantes sont

dites les périodes de l'intégrale 1 • " > et cette intégrale est dite doublement périodique.

1266. On peut donner de cette double périodicité une représentation géométrique très-simple.

Supposons le plan partagé en bandes verticales de largeur 4K. par des parallèles à Oj tracées symétriquement de part et d'autre de cet axe, et en même temps partagé en bandes horizontales de largeur 2R' par des parallèles à Ox tracées symétriquement de part et d'autre de cet axe. De cette manière, le plan sera divisé en rectangles égaux, dont l'un aura pour centre l'origine, et dont les dimensions seront 4^. et 2K'.

Il6 LIVHE VI. — ClIAP. III, § III.

La formule (2) du numéro précédent nous montre qu'à une même valeur de z correspondent une infinité de valeurs de u différant entre elles de multiples quelconques de 4^.» et situées par conséquent sur une même parallèle à Ox, de manière qu'il s'en trouve une, et une seule, dans chacune des bandes verticales.

Elle nous montre aussi qu'à une même valeur de z correspondent une infinité de valeurs de u différant entre elles de multiples quelconques de 21R', et par conséquent rangées à la distance 2K' les unes des autres sur une même parallèle à Oj, de manière qu'il s'en trouve une, et une seule, dans chacune des bandes horizontales.

Donc dans chaque rectangle de base 41^ et de hauteur 2K' se trouve une des valeurs de u données par la formule (2), et une seule.

Si l'on suppose maintenant, dans la formule (i), que m -+- n soit impair et égal à 2fji-j-i, à la même valeuc de z correspondront toutes les valeurs de l'intégrale données par la formule

(3) 4ixK -f- 7.mYJ -+- 2K — a,

et l'on verra de même que dans chacun des rectangles précédents se trouvera une des valeurs de l'intégrale données parla formule (3), et une seule.

Donc dans chacun des rectangles en question se trouvent deux valeurs de u correspondantes à une valeur de z quelconque, et comprises dans la formule (i). Nous verrons plus tard que ce sont les seules.

Il est aisé de reconnaître que les deux valeurs de u contenues dans chaque rectangle sont situées symétriquement par rapport au centre du rectangle, la position de ce centre étant déterminée par l'expression (4fJt -h 2)K-h(2/z 4- i)iK'.

Remarquons que l'on arriverait à la même représentation en supposant que l'origine O, au lieu d'occuper le centre d'un rectangle, en occupe un des sommets. Dans ce cas, les valeurs représentées par les formules (2) et (3) seraient respectivement symétriques, non plus par rapport aux centres des rectangles, mais par rapport à leurs sommets.