DES FONCTIONS INVERSES DES INTÉGRALES MULTIFORMES

1267. En considérant, dans les deux, paragraphes précédents, les intégrales dont les différentielles ont des points critiques situés à une distance finie de Torigine, nous avons vu que la valeur de ces intégrales ne dépend pas seulement de la limite supérieure z de l'intégration, mais encore du chemin parcouru pour arriver à cette limite. Nous avons vu, de plus, que les différentes déterminations de rintégrale qui correspondent à la même limite z sont égales à la valeur rectiligne combinée par addition ou soustraction avec des multiples quelconques des intégrales prises le long des divers contours élémentaires qui entourent les points critiques de la différentielle, intégrales que nous avons appelées les périodes de l'intégrale proposée.

II s'agit actuellement d'étudier les propriétés de la limite supérieure z, considérée à son tour comme fonction de l'intégrale u. Dans les exemples qui nous ont déjà occupés, nous verrons que cette fonction z = ^f/(ii) est non-seulement une fonction pério^ dique de a, c'est-à-dire une fonction reprenant la même valeur lorsqu'on augmente son argument u de multiples quelconques des

diverses périodes de l'intégrale m= / f[z)dz, mais qu'elle sera,

en outre, une fonction monogène et uniforme de u lorsqu'on fera varier u dans toute l'étendue du plan.

La monogénéité de la fonction z = ^(w) résulte immédiatement

oZ I

de ce qu'elle a une dérivée déterminée, -r- = -tt-tî pour toute valeur

de z, et par suite pour toute valeur possible de u.

Il suffira, pour établir son uniformité, de constater que les diverses valeurs de la fonction directe w, correspondantes à toutes les valeurs de z, remplissent toute Télendue du plan et la remplissent une seule fois, sans laisser de vides et sans que des valeurs correspondantes à des valeurs de z différentes puissent se superposer.

Enfin, nous n'aurons besoin de faire cet examen que pour les

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seules valeurs de u correspondantes aux divers chemins rectilignes de z, el de montrer que ces valeurs remplissent complètement et une seule fois une certaine étendue du plan, laquelle se répétera indéfiniment et sans superposition ni lacunes, de manière à couvrir toute l'étendue du plan, lorsqu'on augmentera toutes les valeurs de u qu'elle contient de multiples quelconques des périodes de cette intégrale.

\ 268. Soit une fonction J[z) admettant pour période la constante A, c'est-à-dire telle que l'on ait, quel que soit le nombre entier m,

(i) /(3-hmA)=/(3).

Si l'on partage le plan en bandes par des droites parallèles, représentées par l'équation

«= H H- mky

ou rentier m prend toutes les valeurs possibles, alors à chaque système de valeurs de /*(z) relatif à un ensemble de points situé dans une quelconque de ces bandes correspondra dans chacune des autres bandes un système identique de valeurs relatif à un second ensemble de points superposable au premier.

On pourra toujours supposer que la relation (i) n'ait lieu que pour des valeurs entières de m; car, si elle était vérifiée, quel que

fût l'entier m, par des valeurs de la forme jr h A, on remplacerait

la période A par A'= - > et la relation reprendrait alors la forme ( i ).

Une fonction est doublement périodique lorsqu'il existe deux constantes A, B telles que l'on ait, quels que soient les entiers m, 71, la relation

(2) /(2-f.mA-4-/lB)=zr/(3).

On voit, comme tout à l'heure, que, si l'on mène toutes les droites représentées par Téquation

2= H -+- mA-h /ïB, ces droites partageront le plan tout entier en parallélogrammes

INVERSION DES INTÉGRALES 31 VLTiFORMES» II9

ayant leurs côtés égaux en grandeur et en direction aux droites qui représentent les périodes A, B, et dans chacun desquels les mêmes séries de valeurs de f[z) se reproduisent avec une disposition identique.

Nous donnerons, pour abréger, à ces bandes ou à ces parallélogrammes, relatifs à la périodicité simple ou double, le nom d* aires élémentaires .

1269. Une fonction simplement ou doublement périodique, qui est uniforme et continue dans chaque aire élémentaire, admet au moins un infini dans Tintérieur de cette aire; car, si elle restait finie dans toute cette aire, elle le serait aussi dans tout le plan, jusqu'à rinfini inclusivement. Donc [1137] cette fonction se réduirait alors à une constante.

La fonctiony(-2) étant uniforme et continue, sa valeur réciproque

y— r le sera aussi, et, par suite, devra admettre aussi un infini. Donc

la fonctiony*(z) devra admettre au moins un zéro dans chaque aire élémentaire.

Donc, si une /onction simplement ou doublement périodique, unijbrme et continue^ ne devient ni nulle ni infinie dans une aire élémentaire quelconque, cette fonction se réduira à une constante.

1270. I. Commençons par l'étude de la fonction inverse de l'intégrale

et considérons d'abord les valeurs de u correspondantes à toutes les valeurs réelles de z.

Nous avons vu [1256] que le point critique z = o de la différentielle est un point de ramification de l'intégrale i/, et que la période de cette intégrale est l'intégrale prise le long du contour élémentaire partant du point initial + 1 et entourant z = o, intégrale dont la valeur est 2i7r.

Si l'on fait varier z sur l'axe des x positifs depuis une valeur infiniment petite jusqu'à une valeur infiniment grande, il est aisé de voir que l'intégrale rectiligne u prendra toutes les valeurs réelles

depuis — 00 à +qo . En effet, si l'on fait varier z en progression ^géométrique, u variera en progression arithmétique ; car il résulte du théorème d'addition démontré au n° 827 que Ton a, en posant

Or F( z) est positif ou négatif, suivant que z est }> ou <[] i ; donc, si n croît jusqu'à l'infini, z'' variera de i à H- oo ou de i à o, tandis que F (-3") variera de o à db ao , et réciproquement.

La fonction u = F(z) croîtra donc toujours d'une manière continue, et remplira complètement et une seule J ois l'axe des abscisses réelles dans le plan des u, lorsque avariera de o à + oo . Donc, réciproquement, z=.^[u) sera une fonction uniforme et continue de u pour toutes les valeurs de cette variable de — oo à H- Qo . Autrement dit, tandis que le point u décrira d'une manière continue l'axe Ox de — oo à -H oo , z = ^[u) décrira d'une manière continue l'axe des x positifs.

1271. Faisons maintenant décrire à -3 le chemin rectiligne parlant de -h I et comprenant l'axe des x négatifs. Ce chemin passant par le point critique z = o, nous éviterons ce point au moyen d'un demi-cercle décrit du centre O et situé, par exemple, au-dessus de Ox. En posant

X^ dz — ) pour z négatif et = — z'^ se composera d'abord

de l'intégrale

puis de l'intégrale semi-circulaire