INVERSION DU LOGARITHME

et enfin de Tintégrale

En réunissant ces trois parties, on trouve, pour la valeur rectiiigne <le l'intégrale correspondante à la valeur réelle et négative ^ = — 2^,

Ainsi, à toutes les valeurs complexes de u comprises dans la formule ITT -f- I/o, Uq variant de — oo à -*- oo , correspondent toutes les valeurs réelles et négatives de z = ^|;(u), depuis o jusqu'à — oo . En d'autres termes, le point z décrira Taxe des x négatifs, tandis (jue u décrira, de — oo à -f-oo , une parallèle à Ox, située à la distance -hTT de cet axe.

1272. Faisons maintenant décrire à z une droite z= i -hre'/', partant du point initial z =-+- i de l'intégrale, et faisant avec Oj: l'angle constant p. On aura alors, pour l'intégrale prise suivant cette droite,

Cherchons la forme de la courbe décrite par cette intégrale, lorsque r varie de o à oo .

La tangente à la courbe u fait avec Ox un angle égal à l'argument de la différentielle

du =: r- dr.

Cet argument est égal à l'argument^ du numérateur, moins l'argument du dénominateur i -h réP, Ce dénominateur est représenté

parla droite OM = Oi H- i M {jig^ 98), et son argument par l'angle I OM ; et il est facile de voir que, tandis que M se déplace depuis le point I jusqu'à l'infini sur la droite donnée, OM passe de la direc-

(') On aurait trouvé F(s')= — «it si l'on avait tracé le dcmi-ccrcIe au-dessous «le O.r.

tion Ox aune direction parallèle à iM. Donc l'argument de du

Fig. 98.

varie depuis p — o ou ^ jusqu'à p — p ou zéro, et par suite la tangente à la courbe u est, au départ, parallèle à i M, et, quand le point s'éloigne à l'infini, elle tend à devenir parallèle à Ox,

Dans l'intervalle entrer = o et r =-f- 00 , l'angle xOM croissant constamment, p — xOM diminue, d'où il résulte que la direction de la tangente à la courbe £i vaen se rapprochant de la direction Ox et que la courbe tourne constamment sa concavité vers l'axe Ox.

Si l'on considère le prolongement de la droite correspondant aux valeurs négatives de r,. l'angle i OM prendra des valeurs négatives en variant de o k p — r. L'argument du numérateur étant p — TT, puisque /* est négatif, l'argument de du variera donc depuis^ jusqu'à zéro, et l'on voit que la tangente à la branche correspondante de la courbe u tend à devenir parallèle à l'axe des x positifs.

Remarquons maintenant que, si l'on substitue au chemin recti-

ligne iz le chemin formé par la portion ix = r prise sur l'axe

des X et par l'arc de cercle xz^ décrit du centre i avec le rayon r

entre l'axe Ox et la droite iz, l'intervalle entre les deux chemins ne contenant aucun point critique, l'intégrale ne changera pas de valeur. On aura donc

u= f[iU]= \[\x)-^ narcxM) ~Jo ^^'''^Jo ï^^

re'P

(') Au lieu de considérer r comme variant négativement, on aurait pu remarquer que, l'intégrale u ne changeant pas quand on change r en — r et /» en tz —p» tout se pauo symétriquement de part et d'autre de Ox, de sorte que l'on peut se contenter d'étudier ce qui se passe au-dessus de cet axe.

INVERSION DU LOGARITHMB. 123

La première de ces deux intégrales est réelle et varie, pour /• positif, de o à -f- oo . La seconde intégrale, qui peut s'écrire sous la forme

J^ 14-, -le-'/'

a, pour r infini, la valeur ip. De là il est facile de conclure que la distance du point u à Taxe réel a pour limite la valeur p. Donc la courbe u a une asymptote parallèle à Ox, à la distance ~h p de cet axe. On verrait de même qu'elle a une seconde asymptote aussi parallèle kOx et située au-dessous dé Ox, àla distance — (tt — p), La courbe u est donc comprise tout eatière entre deux parallèles à Oo:, à la distance tt l'une de Tautre.

Lorsque p varie depuis. o jusqu^à tt, l'asymptote supérieure variera depuis l'axe des x jusqu'à la dislance n au-dessus de cet axe, et l'asymptote inférieure depuis la distance — tt au-dessous de Ox jusqu'à l'axe Ox lui-même. Donc toutes les courbes u seront comprises dans une bande de largeur 277, dont la ligne médiane est Ox.

Si l'on suppose maintenant la limite supérieure /• = !, l'inté-

grale u deviendra

que l'on trouve aisément égale à

log ( I -h cas/? )-!-—•

Si l'angle p est obtus, la partie réelle devient négative; si p tend vers la valeur tt, la partie réelle tend vers — oo , la partie imaginaire restant finie. Donc, pour p infiniment voisin de tt, la courbe sera toujours comprise entre l'axe Ox et la droite qui joint l'ori-

gine avec le point — 00 H » de sorte que, pour une abscisse

négative finie, sa branche inférieure tend à se confondre avec l'axe des X négatifs. A partir de l'abscisse négative maximum, la courbe revient dans le sens des x croissants et s'approche indéfiniment de son asymptote. Pour p aigu, on a un système de courbes disposé symétriquement au précédent par rapport à l'axe des x.

ia4 LIVRE VI. — CHAP. III, § IV.

1273. Si Ton fait varier/; d'une manière continue, il est aisé de voir que les courbes u varieront d'une manière continue et ne se couperont pas.

En eflfet, si nous donnons k p nn accroissement infiniment petit et positif (J/7, le s, pour la même valeur de r, prendra un accroissement $z de direction perpendiculaire à la droite i z, et Tinté-

— croîtra de $u = -i dont l'argument est égal à celui de du

te

augmenté de -» et dont le module a une valeur infiniment petite

et différente de zéro en même temps que la valeur de $p. Donc la distance des deux courbes a et a + Ja est infiniment petite avec 3/', et, comme elle est comptée sur une perpendiculaire à ces courbes dirigée du côté de la convexité de la courbe i/, les deux courbes ne peuvent se rencontrer.

Il résulte de là que l'ensemble des courbes a veuïçWi complètement et une seule fois toute la portion de plan comprise dans la bande de largeur 2 7r qui s'étend symétriquement de part et d'autre de l'axe Ox,

Donc, dans l'intérieur de cette bande, il passe, par un point donné quelconque u, une courbe u et une seule, et, par suite, à toute valeur de u correspond un chemin rectiligne déterminé de la variable z et un point déterminé sur ce chemin. Donc enfin, dans cette bande, la variable z est une fonction monogène, uniforme et continue de la variable u.

En ayant égard à ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent sur la périodicité de l'intégrale 1 --j les mêmes valeurs de

cette intégrale se reproduisant d'une manière identique dans chacune des bandes de largeur 27r dans lesquelles le plan peut être divisé, on en conclura que la fonction z de la variable u est synectique dans toute l'étendue du plan et, de plus, qu'elle est une fonction périodique dont la période est 2i7r, c'est-à-dire que l'on a, quel que soit l'entier «,

ou, comme on l'écrit habituellement,

" rz: e" '^^ ffH-i-inn:

INVKRSION DE l'aRC-TANGENTE. 125

1274. II. Considérons la fonction inverse de Tintégrale

Celle inlégrale a, comme nous l'avons vu, deux polnls criliques,

i el — I, à chacun desquels correspond la période d= n. Si donc on partage le plan en bandes parallèles à Taxe des j el de largeur égale à TT, les valeurs de l'intégrale correspondantes à toutes les valeurs de z se reproduiront identiquement de la même manière dans chacune de ces bandes. Il suffit donc d'étudier la relation entre z et ii pour une seule bande, celle, par exemple, qui contient les valeurs de u correspondantes à tous les chemins reclilignes partant de la limite inférieure zéro de l'intégrale.

Considérons d'abord les chemins reclilignes qui coïncident avec les axes coordonnés. Si z varie, sur l'axe Ox, de — oo à -h oo , l'intégrale u variera de — oo à une certaine valeur A, que nous déterminerons tout à l'heure, prendra toutes les valeurs comprises entre — A et A, et remplira ainsi toute la partie de l'axe Ox comprise dans la bande de largeur 2 A dont l'origine occupe le centre.

Si maintenant on fait, comme dans l'exemple précédent, parcourir à z un quart de cercle, de centre O et de rayon infiniment grand r, allant de l'axe Ox k l'axe Oy, l'intégrale croîtra de

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