II] A

Pour que la Iransformalion soit réelle, il faut qu'aux valeurs <le .r comprises entre ^13 et a^ correspondent des valeurs réelles i\c 9, et par suite que .v = sin*^ soit compris entre o et -j- i. Il faul donc qu'à

on fasse correspondre

J— o, I, 7» QO .

On devra donc changer, dans les formules précédentes, les indices

ce qui donne les mêmes valeurs de A-, /'-, /;/ que précédomnuMil, avec la \alcur

[III] A r= o> .r <^a^ ou ]> ^v^.

Il faudra changer, dans les formules [1], les indices

1» * ou

<7'. '^in ^1^1 V Sin*'^

«13— ûlvSUl*y

[IV] A>o, «,<.t<</,

On changera les indices

I7i LIVRE VI. — CIIAP. IV, I I.

de [I] en

ce qui donnera pour A 2, V^, m les mêmes valeurs que dans [HI], avec

1303. Dans le cas où X est du troisième degré et égal à

il suffira de faire dans les formules précédentes les rnémes changements que pour passer des formules du n^ 1S96 à celles du n" iSOO, ce qui donnera les formules suivantes :

[I] A <o , fl,<x<«,.

[Il] A<o, flr3<*<-H«5

Mêmes valeurs de A"^, Ar'^, m que pour [I];

a^ — <7j sin* 9 I — sm' f^

[III] A>0. — 00<.r<fl,.

[IV] A>0, ^?,<^<aa.

Mêmes valeurs de A'2, A'^, m que poiir [111];

RÉDUCTION DE L*INT£GRALE fF{x, )/\)ffx. Ij')

1304. Réduction de l'intégrale J¥\x^ \fK.)dx aux trois formes normales. — On commencera, en opérant comme au

n® 427, par mettre l'expression difTérentieile F(a:, \l\.)dx sous la forme

9i(x) ctft(«^) étant des fonctions rationnelles de x. Nous n'aurons à nous occuper que de la partie ^ Liz-dx.

Si la transformation du second ordre est applicable [1302], elle ramènera immédiatement cette différentielle à la forme

/(««',) fj.

y* étant le sig^ne d'une fonction rationnelle, et A9 désignant le

radical ^i — A-^sin^'o.

La transformation du premier ordre ramènera la même expression à la forme

Y représentant une des trois quantités sinf, C0S9, tangf. La fonction rationnelle xO ) pourra se mettre successivement sous les diverses formes

Xo X<^ ^1' * " désignant des fonctions rationnelles et entières. La fonction se trouve ainsi décomposée en une fonction paire de j^ et une fonction impaire de la formej^u(j^^).

Cette dernière fonction, étant multipliée par -^9 donnera une difTérentielle qui s'intégrera par arcs de cercle et par logarithmes

IjO LIVRK VI. — CIIVP. IV, § I,

[427 et siiiv. ', en posant,

pmr J =rr siny, ziTLCOSy, (I ou rr >- -^ — Il z- ~ 1

pour ) zzz vos'Yt Z=Sllly, d ciu rr > '^ , ^ Il -- — ^ __- ,

,. , ,. , yff'f [ I — r.'\ «h pour ) — taii"»^, z=:cosy, «cm ci') — - = — Il I — )

n dési*»nant une fonclion ralionnelle.

La fonction paire dej peut, dans les trois cas, se mellre sous la rornio d'une lonclion rationnelle de sin-9. (>n est donc toujours ramené à un<* didérenlielle de la forme

f SIIl-'P — •

l*ar la décomposilion en fractions simples, celle fonction produira des termes compris dans les quatre formes suivantes.

Ay , 1 -h // snrç> A'j/ Ay I -4- //siii-^ VA-j,

A, /z étant des constantes (pielconques, et/^ y des exposante entier (pie nous pourrons ramener à Tunilé.

130^). I. Considérons rintégrale

Si Ton dilférentie Texpression

sinç/ cosy Aî?

(i 4- « sin'^^j''"* en posant, pour un instant,

I -f- // siii*y = *, 7 — I = '^i la déii\ée de cette expression sera

RÉDUCTION DE l'ixtÉGRALE ^ F(a:, y/x)/^. lyy

En ordonnant suivant les puissances de

t=z =: — sirrv,

la quantité entre parenthèses devient, après quelques réductions ' faciles,

Si Ton multiplie maintenant par -— ^ — > on aura, en intégrant et rétablissant les notations primitives, la formule de réduction

— — ^ — ^ — • (n-Arsin'y)''-'*

Cette formule permettra d'abaisser Tindice y de V^ tant que cet indice sera supérieur à Tuni té. Alors les intégrales V^, V^.j, ..., V3 se trouveront exprimées au moyen de fonctions rationnelles de sinQ, coscp, Ai^, et au moyen des intégrales

' J (i4-/<sin'y)Ay

dont la première forme une transcendante spéeiale, tandis que les deux autres appartiennent à des classes de transcendantes plus simples.

H.— Court d9 Caie, in fin,, lY . 13

1306. La formule de réduction que nous venons d'établir se simpIiGe :

1** Dans le cas où Ton a

"— I, V^— J ^^jg,,;^^^^

ce qui donne, en changeant ^ en y + i,

formule qui permet d'exprimer V^, V^.i, ..., Vf au moyen de-

deux intégrales

et de fonctions rationnelles de sincp, coscj», A-v. 2*^ Dans le cas où Ton a

n^-P. y„=fjrflT^

ce qui donne la formule

en vertu de laquelle on exprimera V^, Vy i , . . . , Vj au moyen des deux intégrales Vo, V i et de fonctions rationnelles de sin^, cosy, Adj.

1307. II. En différentiant de même Texpression

sin'/'-J y cos y A»

et intégrant de nouveau, on aura, pour l'intégrale

sîn*^ f df

la formule de réduction

= siQ*''~'y cosy Af,

RÉDUCTION DE l'INTÉGRALE fv{j:^^S.)(lx, 179

qui permettra d'abaisser l'exposant/; jusqu'à la valeur i lorsqu'il est positif.

Si /; est négatif et == — </, on aura, en changeant y en y — a, la

formule de réduction de l'intégrale

savoir

'' J siii"'f Ay

130S. Il est aisé de voir que les deux intégrales

r. ^ dy r , ^?

I sur® — 9 I cos'® — ^ J ^^? J ^ ^?

s'expriment immédiatement au moyen des deux intégrales On a, en effet,

Donc, dans tous les cas possibles, l'intégrale fF{xy ^X.)dx pourra s'exprimer au moyen des fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires, et des trois transcendantes

Jo ^? Jo Jo (i-^rtsm^f)àf

auxquelles on a donné les noms d'intcgrales elliptiques de première, de deuxième ei de troisième espèce.

L'intégrale de première espèce, que Legendre a représentée par le symbole

l8o LIVRE VI. — CHAP. IV, § I.

dépend à la fois de sa limite supérieure <f, qu^on appelle ïamplitudcf et de la constante k, qui est dite le module. Nous nous dispenserons d^écrire le module toutes les fois qu'il sera désigné par la lettre /r; s'il est représenté par un autre signe, par la lettre / par exemple, nous le mettrons en évidence, en écrivant

La même convention s'appliquera aux autres intégrales elliptiques et généralement à toutes les fonctions de l'argument et du module. L'intégrale de deuxième espèce est désignée, suivant la notation de Legendre, par

expression qui représente la longueur de l'arc d'ellipse [746, I].

Enfin l'intégrale de troisième espèce est représentée par le symbole

Elle dépend de trois quantités : l'amplitude 9, le module k et le poi'amètre n.

Depuis les travaux d'Abel et de Jacobi, on rapporte généralement toutes les fonctions elliptiques à l'intégrale de première espèce, considérée comme variable indépendante. En posant

nous avons vu que les quantités f , sin9, ... sont représentées, en fonction de u, par les notations amit, snu, ....

A cause de df = dnuduy l'intégrale de deuxième espèce peut se mettre sous la forme

en la considérant comme une fonction de u. Pour éviter toute confusion avec la notation de Legendre, nous la représenterons, avec

RÉDUCTION DE h' INTÈGKkLE f F {x,\/\.) (Lc. l8l

Gudermann, par

eltf.

Enfin l'intégrale de troisième espèce peut se mettre sous la forme

« du

Q i -h nsn^u

1309. Nous avons vu dans le Chapitre précédent que, si Ton pose

/*' dz r? dy

l'angle ^ = arcsin? est dit Vamplitude de la variable a,

^ =r am If,

et que les diverses yb/2ca*o/2,ç circulaires de cette amplitude,

sin^, cos^, A3», tang^,

sont dites les Jonctions elliptiques de la variable Uy

snu, en H, dnu, tnu.

Ces notations supposent que le module de ces fonctions soit

la quantité désignée par la lettre k. Si le module était représenté

par une autre lettre, / par exemple, on le mettrait en évidence en

écrivant

an)(a, /], sn( 11,/), ....

Si / est égal au module complémentaire

alors, au lieu de am(/i, À'), sn(ii, k'), . . ., nous écrirons simplement

am'if, sn'tf, cn'i£, da'ii, tn'ir.

L'intégrale m, suivant qu'on la considère comme Tonclion do l'amplitude 9, de sîno = snii=z, de cosj = cnu = ^,, etc., se représente par les notations

u = urgam » -= ;irg sn:; =r arg c:i r, = . . . .

1310. On a entre les fonctions elliptiques d'un ment u les relations

même argii-

sn'« -1- ciâ*/i =z I,

/*SU*« -t- dià*// =;; I, sn/f

tn u =

ci\u

De l'égalité

elf =z ^^. (lit, ou daim u z=:dnu du

et des relations précédentes on tire les formules

D^^aratt^doM, D„sn« = cn«dnif, D„cntt= — snudnn.

D,4 dn « rrr — X* sn // en u, D„ tn u =: — -

cn*«

Si Ton fait tour à tour

/=:ara//, sn/i, cn«, dnu, ln«.

l'argument elliptique u se présentera sous les diverses formes

argam/ =r

argsii/ -- I are CI)/ =r

argdn/ =

arglnr =

Jo si i — /*siii'/

r^ dt r' dt

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l83

D'après ce que nous avons vu,

I amtty snu, Inn sont des fonctions impaires de £/,

( en//, dni/, des fonctions paires,

les premières s'annulant et les secondes devenant égales à Tunilé pour 11 = c).

Pour ii = K, on a

;5) amK=::-» snK=.i, cnK = o, dnK = X', tnK = oo.

Si le module A" = sin6 se réduit à zéro, on a ,., ( 0 = 0, k'=cos9 = i, K=-, K'=oo,

( am//r=r// = y, sntt = sin//, cn// = cos//, dnwr^i, tn// = tang//. Si A" devient égal à l'unité, on aura alors

k':=o, ^=:-, K:=x», K'= -, tt = logtang ( ^ -f- ~ ] ,

[*]) ^ 3? = am(//, i) = Amhi/ = 2arctangc" -^

sni/ = Thi/, cni/ = dn« = r„ — > tntt = Shw.

Ctiu

1311. De la discussion relative à la périodicité des fonctions elliptiques [1289 à 1295] il résulte que, si Ton suppose

tt = i/qH- 2/wK + 2/l/K',

on aura ami/=: (//izfc/iJTT H- ( — i)'"ami/o, ^8) / snM = — i)'"sn//0,

cni/ = ; — I )'"■♦''* en //o, dn« =: (— ij^dna^»

i tni/ =;— i)'*tni/o.

l84 LIVRE VI. — CRAP. IV, § II.

Si Ton suppose u égal à une somme de mullîples pairs ou impairs de K et de iK', on aura le Tableau de valeurs sui%'ant :

snii

en tt

dn n

tnu

amK + atiK' (jm 4-i)K-+-a/iiK'

(a/in-i)K ^-(2/l-^-l)«K'

(l)"-Ht

o oc

1312. Théorème d* addition des fonctions elliptif/ues. — Nous avons déjà démontré au n° 827 la relation qui existe entre les fonctions elliptiques de deux arguments u, i^ et celles de leur somme u 4- v. L'importance de ce théorème nous engage à en donner encore une autre démonstration très-simple, duc à M. Darboux.

L'argument u et la fonction j: = snii sont liés par Téquation

qui donne, par la différentiation.

d'où

du fiu*

tiu

du'

Pour une autre valeur j' de la même fonction, on aura de Dfiéme