Â-*jrjr(i[.ry

tl.r dy 1 — X^x'/*

(lu du

d'où, en intégrant,

C étant une constante arbitraire.

Or, si ç( w) est la fonction de u à laquelle a: doit être égal en vertu de Téquation (9), les relations [827, IV]

dx dy

montrent que les deux intégrales 1 — :> 1 -^— doivent avoir

une somme constante a, d'où il résulte que j^ = :>(a — 11), On a donc, en vertu de (i5).

l8r> LIV«E VI. — CIIAP. IV, § II.

Si Ton suppose maintenant M = o, d'où ç(i/) =jr=o, o'(«^=ri, il vient, pour valeur de la constante arbitraire,

Si donc on pose a — u=rzv^ l'équation deviendra

OU enfin, en remplaçant la notation 9 par sn et remarquant que

a,'(//) = ^^i — sn-i/;(i — k'sn^ii) = cm/ dm/,

^ . . sn « rn i' dn v ■+- sn v en n dn n

1313. On peut encore obtenir aulrcmeiit cette Ibrmule et les

formules analogues relatives aux autres fonctions elliptiques.

Reprenons les équations trouvées au n° 827, V, où nous avons

posé

y =r îiina, y=amv^ «r = ara(« -h «') r:= amci».

En mettant, dans les équations (i), (2), (3) de ce numéro, à la place de A, B, C leurs valeurs en fonction de d, il vient

I At — I

sino"

', (Ao- — i)c()s;y — x) -— [At -h 1) cos(? -hx) -f- 2SCos«r=i o. En vertu des relations

fio (/'/ tly

les deux premières de ces équations peuvent s'écrire

(A(T--i)sin(î» — x) "('^? — ^x)»**^^»

(At -f- i)sin(y-hx) =^ (•^?'+' '^x)*^"^''

d'où Ton tire

sindA^ == sin^^cosxAT -f- sin^cos^?,

sîndAx = sin^cosyAT-H sin^cosx-

La troisième relation (17) équivaut à celle-ci :

cos fj = cos y cos / — sin ^ sin ;^ Ao* .

En introduisant maintenant les arguments des fonctions elliptiques au lieu des amplitudes, les trois dernières équations

deviennent

Isn «• dnu = sn u eu c du tp -+- sn p en w, snfrcliif = sni'cnttdnfi' -h sn^cnf, en (v = cnucntf — sn u su v du (v,

La relation

il -{- V — iv = o

pouvant s'écrire encore de deux autres manières,

i' H- ' — tv) — ( — U ] = o,

on pourra, des trois formules (18), en tirer six autres, en remplaçant respectivement

soit par soit par

«, f, Cl-,

«', — Iff V.

1314. Des deux premières équations (18) on tire

, , sn*«cii'f' — sn*<'cn*w

sn w-f-c = -,

sn fi en t' an p — sn r en ^^ un u

En multipliant les deux termes de la fraction par la somme des termes dont le dénominateur est la différence, et exprimant cn^i/, dn*i£, cn^i<', dn^i' au moyen de sn^ii, sn^v, on retrouvera la formule (16).

On obtiendra de même la formule

, . . , . dntfdnc — ^*sn«sn<'cntfcnc 10) an w4-f) = Tï — : : •

En portant cette valeur de dn(/*-f- {f) dans l'équation (6), on

l88 LIVRE VI. — CIIAP. IV, § II.

aura

en» cm» — siiMsnf cintf dn<*

( 20 ) en ( If -h I' ) ==;

I — /^sn*!/ sïi*p

En divisant Tune par Taulre les formules (16) el (19), on en tire , . , . tni/dni'-f- tnï'dntt

21) tn'tt-f-<'):= i — 9

I — tnu diiPAnvann

ou encore, en multipliant les deux termes du rapport — \ — ^-

* *^ en { « -h »•

par la somme des termes dont le dénominateur est (a différence.

et divisant haut et bas par i — A^ sn^u sn* r,

, , , . sntt cnif dnp 4- sni'cnf dn«

22 m M-hr =- — —7- — -— .

^ ' ^ cn^ucn^v — X'sn*ttsn*i'

Enfin, Téquation (21) donne immédiatement ( 23 ) am ( « + (•) = arctang ( tn « dn t») -h arctang ( tn i» dn u ] .

1315. En faisant, dans les formules précédentes, u = r, on a les formules pour la duplication de l'argument :

2sni/cn»dnM sn la :z^ — — 7 — >

1 — /*sn*w

cn*tt — sn*fldn'« I — A^sn^ u

(qA) l , dn* a — /** sn* u en* n

^ ^ ^ dn2« = — ,, 7 y

1 — A * sn* u

2 tn u dn u tn 2 n =

I — tïi^u dn*tt l am 2 « = 2 arc tang ( tn « dn « ) .

1316. Si dans les formules (16), (19), (ao), (21) on change r en — Vj on obtiendra les fonctions elliptiques de la différence u — r des arguments.

En combinant ensemble ces deux séries de formules, on en déduira les formules données par Jacobi au § 18 des Fundainenta. On a, par exemple, en faisant, pour abréger,

w H- p = j, u — p = /, I — X* sn* « sn*f = W,

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l8(j

les relations

W(sn* -4- sn<) =: 2snacnfdnc', W(snj — sm) =z asDPcnudnuy Vf (en s -h en t)z= 2cnucnPy W(cn.ç — ont) rz: — -ïsnKsnf^dnttdnc, W(dn5 -f- dn/) == sdiifidnc», W(dnj — dnr) r: — 2/-'snif snf^cnxrcnr, Wsnisnf r= sn*« — sn*f,

Wcnjcnr r= cn'u — sn*f dn*w,

Wdn^dn/ mdn'i/ — /••sn'tfsn*»»,

W(i — sn^sn/} zzj: cn*tf -h sn*i'dii*a,

2tni/dni'

etc.

1317. Considérons les fonctions de V argument complémentaire K — u. Nous les représenterons par les mêmes lettres que les fonctions correspondantes de Targument u, en ajoutant seulement à ces lettres la lettre c. Nous écrirons ainsi

ani[K — i/)r=amci/, sn(K — i/) = snc«, cn(K — a' =: cncw, etc. (*).

En faisant, dans les formules des n*^' 1312 et 1314, u = K. et i' = — u, on aura

cnii k'snu X' i

8nc£i=r-r — 9 cnci/ = — t 9 dnctf = -; — n incu=-j-, 9

dni/ dn 21 anu A- tnu

amc«= arctang(^'tn/<).

On tire de là les relations

sncttcncit

snucnu

dnctf

dnu

tt dnctt =

tnA

rtncu

(') Jacobi déBigoe ces mêmes fonctions par les notations

coam u, sin coam u, cos coam u, etc.

LIVBE VI. — CHAP. IV, § Il

dnc

snc u cnc u

snucn// <in*« duw

On conclut de ces formules que

( snc//, dnctt sont des fonctions paires de //, I cnci/, tncii sont des fonctions impaires de 1/.

1318. D'après ce que nous avons vu aux n*** 1287, 1291, 1292, 1294, les fonctions elliptiques, pour les valeurs o, K, i¥J, KihiK' de Targumenl u, prennent les valeurs indiquées dans le Tableau

snn

cn«

dnri

lOC

K ± xK'

En combinant ces valeurs avec les foraiules d'addition des n°" 1312 et 1314, on obtient les valeurs des fonctions elliptiques de l'argument U pour chacune des valeurs m + K, M-f-iK',

snU

ciiU

dnU

8nc«

— eue II

dnu A'

dnc II.

— tncii

Asnu

l'A su a ^" lAcncii

dnc » A' «A sue « ^ ik eu u

1 tu Cl

* — îh' tn u

dnu i l'dnn

A suc M .

tue u

dnc II A'

PnOPniETKS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. I91

On peut vérifier direclenienl ces formules en remarquant que Ton a

îr

Si ron pose

cos ©

on en lire

, / . /'sin®cos©\ (h A'*sin©r/&

d'où

A^i Ay J^j Aï*,

sin^j =: sn[K — u).

1319. Nous distinguerons, comme nous Tavons indiqué plus haut [1309], par un accent les fonctions elliptiques relatives au

module complémentaire A'= y^i — A-, et nous aurons ainsi am'i/ == aiii(tf, A'], sn'i* = sn(«, X' ), ....

Si Ton pose

on en conclura

z =r sn«.

Changeons z en iz ; il viendra

En comparant cette formule avec la dernière formule (3) du n*» 13fO, on en conclura

- :=: arg tn (3, a = - arg sn iz.

Donc on a à la fois

/5 = snii, 5 = tn -1

igi LIVRE VI. — CIIAP. IV, § II.

d^où, en changeaut u en iu,

[2']) sn/tt = /tn'tf.

De même, dans la formule

arc cn« = a =:: — / —=======: >

changeons z en -•, il viendra

d'où l'on tire

- =: en «,

z — en - •

En changeant donc ii en iu^ on aura

[ 28 ) en m

en' Il

Des formules (27) et (28) on tire immédiatement (29) tn/a = isn'i/.

Enfin, en changeant u en im, la formule (27) donne

f dn'tt I

:;3o) dniii = \/i-+-/»tn'»a = — ^ = — ^ ,

snc'tt désignant sn(K' — m, A').

On peut encore vérifier cette formule comme il suit. Soit

I dnw^

sncii cnu' on en tire

dy ^*snu

du CQ* u D'ailleurs

partant,

cn^udy fi y

Donc, en changeant h en A^ on aura, pour^ = — j- ,

SDC M

'If

Or on a, en supposant z = dnu,

r* dz . /" </3

= — i X l'areument dont la fonction : est ésrale à z. Par consé-

° snc ^

quent, on a

tt f ,1 dn'w

dn - =^ ,— ï ou âniu =

suc'// snc'w en' a

Des formules que nous venons d'établir on déduirait aisément les valeurs des fonctions elliptiques de Targument u -f- /K' qui se trouvent dans le Tableau du numéro précédent. On a, en effet.

Jftrf . » . » . * 1

sii(£/-i-/K') = sn/(R' — ///) = / tn(K' — ///)=:^ âne'/// = - — ;— =- ,

et de même pour les autres fonctions.

§ ni.

DÉCOMPOSITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES DE FRACTIONS SIMPLES.

1320. Nous avons établi, au n° 1206, la formule

la première intégrale se rapportant au contour de Taire ^, les autres aux divers infinis c de la fonctiony*(ix) contenus dans cette aire.

Prenons pour JH Taire entourée par une courbe de dimensions

H. — Court de Calcul infin., IV. 1 3

infiniment grandes et de forme quelconque, symétrique par rapport à l'origine, mais ne passant par aucun des infinis de la fonction, de sorte que /{"o) ne devienne infinie en aucun point du contour. Si l'intégrale

prise le long de cette courbe, a, en deux points diamétralement opposés, ses éléments égaux et de signes contraires, alors cette intégrale sera nulle, et il en sera de même de l'intégrale

Ç /{yjfh ^ r I f'^)rh

dont la valeur différera infiniment peu de celle de l'intégrale précédente [1211], si tous les points c sont situés à des distances finies de l'origine. Donc, dans ce cas, la valeur def[u) se réduira à

c'est-à-dire à la somme des résidus de la fonction (u) relatifs aux infinis de cette fonction compris dans l'intérieur de l'aire ;3I.

Si les points c se rencontrent à des distances aussi grandes que l'on voudra de l'origine, et que la première intégrale de la formule (i) ait toujours pour limite zéro lorsque tous les points du contour s'en vont à l'infini, la formule (2) continuera à subsister.

Nous avons déjà, dans le Chapitre II du Livre VI, appliqué cette

formule au développement des fonctions sinu, tangu, coséci/, ... ;

appliquons-la maintenant au développement des quatre fonctions

elliptiques

snUf en//, dnuy tn//.

1321. Supposons d'abord

f{u]=zsnit.

Cette fonction étant impaire, l'intégrale / du, prise le long

d'un contour infini, symétrique par rapport à l'origine, sera nulle. Les infinis c de la fonction sni/ sont compris [1289] dans la

DÉVELOPPEMENT EN FRACTIONS SIMPLES. IqS

formule

Le résidu de cette fonction snu, relatif à Tun de ces points, sera

Iim lu — c] :

u = C 'tf — u

or, en posant

'j r= s + c = c 4- 2/wK H- ( 2/1 4- i) /K'î

on a[1289eti318]

snu = f— ï)'«sn(sH-/K')=: ^ ,— ^ ; ' ^ ' A* sn e

donc,liin — étant Funité, la valeur cherchée sera

sns

1=0 «sns u — c — 2/wK. — ^2/i-i-i)iK.

En conséquence, la formule (2) donne, pour m et n croissant Tun et Tautre à Tinfini,

sn a =: T lira y y tt r rrrr; •

A' ^ -^ II — 2/nK — (2/i +i)/K'

Si Ton suppose que Taire ^ ait la forme d'un rectangle dont le centre soit l'origine des coordonnées et dont les côtés soient parallèles auK axes, on pourra d'abord sommer les termes qui se trouvent sur une même parallèle aux a:, et calculer, pour n constant, l'expression

«=• ^^ U — 2/nK

en faisant, pour abréger,

U = ii — (2/i4-i)iK'.

Or on a [1212]

cosccj: ■* ^^ '

kîj: = lim \^ -^ •

f«=«^^ -v — mis

t 196 LIVRE VI. — CnAP. IV, § 11.

Si l'on pose maintenanl

r, == — ^> î;U z=i:tt — [2/1 -4- \\irJL\

puis

la somme précédente deviendra

limiQ^ ; — ^ T": = ï; cosécrj — (2/i-»-i\cl

Donc

«=.^lim2

A- .^ sin[x — (a/i-hil/p]

1322. Considérons maintenant, en général, une série de la forme

Md sin(x — v/p)

o: et p étant réels, et p positif. Le rapport de deux termes consécutifs

sin(.r — v/p) c^-^ir ç-y^^ix ^j I — <r-*C»?-»-'>) sin[.r — (v -\- i)/p] *" ^tv+i}p+/\/ ^fvH-i;p/x — ^ I — tf~«L{vH-i)?-i-/xj

a pour limite correspondante à v = oo la quantité — <i quî est

moindre que l'unité. Donc la série est absolument convergente. Il en serait de même de la série

sin(j7 — v/o)

Il résulte de là que les deux parties de la série

^ sin[j — {2/i-+-i)/p]

correspondantes l'une aux multiples positifs, Tautre aux multiples

DÉVELOPPEMENT EN FRACTIONS SIMPLES. Ujy

négatifs de ipf sont toutes les deux séparément convergentes. On peut donc y remplacer les limites infiniment grandes — n — i et + 72 de rindice par deux nombres infiniment grands quelconques, et écrire simplement

/• jkd sin [.V — ^ 2 // — ' ) ' p]

Si Ton groupe ensemble les termes contenant des multiples de ip égaux et de signes contraires, on aura, en remarquant que

I I sin a: ces a

siii [.t: — a) sin ( x -f- r/ ) cos 2. a — cos 2 x

et introduisant les fonctions hyperboliques,

,, iî . V^ Ch(2/î-+-r)p

4 snw=:-smx> -7; ^ ■

^' k jfarfCht4// -T- 2jp — cos2ar

Si Ton pose actuellement

on aura

Chvp * 1

= -if'-^7').

ce qui donne à la formule (/{ ) la forme suivante : 5] snw = ^=-7-=-smar> i— i— '-

' ' A- émd 1 — 2 </''""*'^ COS 20: -t-

2 7*""^* COS 20: -t- 7*'*"*"*

1323. Pour arriver au développement de cnu, commençons par obtenir celui de la fonction impaire cn(u — K)=y(u), dont les infinis sont [1292]

a — K=r 2/7lK4-(2/l-+-l)/K'

Il =( 2m -+- i)K^- (2/2 -t-i)/K' = c.

Le résidu relatif à Tun de ces points est

^ 'u — 'j a — f — J2/W -+-i)K. — {2iH- i)*K'

1^8 LITIE Tl. — CHAP. IT, $ III.

Or OD a [ 1292]

cBtt = — ï /"■••* en (21» K -t- i/i/K'-f- «',

d^où

cn> — K ;=/>; =;— 1,'"-^* cnn; 21» — l'K -^- 2J»/K' -î- »^.

Donc [1318]

d'où Ton lire

lim ' i» — c^

I sdns

^ ik snz w — s — 2/n-i-ijK — ^2/i-l-i^fK

^-ir^»

/X a — (2/n -h 1) K — (2/H- 1 ; iR'

et par suite

En remplaçant u — K par u, on a

" = i'™ 2 '^-''' 2 «-2mR-(..«-+-i)/K'

EnGn, en supprimant, à la gauche du rectangle qui forme le contour de Taire infiniment grande, un terme infiniment petit, correspondant à rindice — m — i, ce qui ne peut avoir d'influence sur la limite de la somme, on aura

(6) cn«=iHm 2 (-0"2.-.J-;L->-.).-K-

Si l'on pose, pour un instant,

a — (2«-M)iK'=U,

on aura, comme dans le numéro précédent, la somme

que nous avons trouvée égale à

iQ cosëc [x — ( a /i -+- 1 ) /p] .

Donc

7) Cntt=-rr >,-:—? —/ ' TT^ "

^' ' lA' Jkd sin[jî— (2/14- i)/p|

On a maintenant

I I cos.rsin^

sin(x — a) sin(.r4-a) cos2a — ces 20:

d*oii, en groupant ensemble les termes correspondants à deux valeurs égales et opposées de a/i -f- i,

(o) cntt = r-cos.r> -T-7-7 — ^ r — ^

^ ' k ^Ch(4/<-h2)|3 — cos2.r

ou, sous une autre forme,

/ \ ^^v7 v^ — » y o ] en « = / cos.r > — i j— ^

COS2J: •+■ q^'* •"*

132i. Soit, de même, la fonction impaire

dont les infinis sont [1295]

u + /K.'= awK + (î/i -4- I ) /K',

a = 2/?iK -t- a/i/K' = r.

Le résidu relatif à Tun de ces points est

,. , \ /(-^^ ,. «/"fe-H 2mK-4-2/</S.')

limfu — c) ' = lim —' — , •

u — y u — f — 2/nK. — 2//1R

Or on a [1295]

d^où

dii;«-h/R';=/» = ;-i;"dn[«-+-2mK-f-(a#i-f-i)/K'].

Donc [1318]

/(.4-2mK + 2/i/R': = î-i)VX = (-i)-dn{. + /R') = (-i)«-^^^

lim (y — r) = - — . — lim zz ttt-,

^ ' u — V i tn e II — e — a /» K. — 2 /ii Iv'

i u — 7.ini\. — 1 ni \sJ

et par suite

En remplaçant maintenant u -h iK' par u, on aura

dni

Si Ton pose, comme plus haut,

II — (2/i-hi)/K'— U,

la dernière somme deviendra

Or [1216,1] la formule

-f-ïD

, X — /ITT

peut s'écrire, en changeant a: en .r,

cotr = > 1

d'où, en remplaçant yjU par x — (2/1 + i)ip, on trouve la somme en question égale à

ïj Cot[j: — (2/1 -f- l)/o].

Donc

(A) dntt=T lim V (— i)'»cot[.r — (2/1 -+- i)//»].

Les termes de cette somme ne tendent pas isolément vers zéro pour n infini; on a, en efTet,

cot .r-v/p =:- ^, s

lunu.r — / llivo

ing

et, Thvp devenant égal à Tunité pour V infini, la limite de cette expression est égale à 1. Mais si, au lieu de la valeur de dniz, nous cherchons celle de i — dnii, on aura, en faisant, dans Téquation (A), j: = o,

I =:^ '- lini^( — l)"C0t(2// -h i)/p,

ce qui donne

1 — dnw =: lïj liniy ( — i)" |cot(2/i -h i)/p h- cot[.r — [in 4- i)'pl

= /« SinX > ; — ; ,

SIU ( 2// 4- 1 ) 'p Slll [./: — ( 2 // -+- I j /p J

série dont les termes tendent séparément vers zéro.

En groupant ensemble les termes d'indices égaux et opposés, on a enfin

/ \ 1 / • t V^ (— i]''Coth(2/i-+-i)p (10) clnii=: I — AïîSin'x > J- — j^ -i ii-

^ ' ^ ^Cll(4/2-t- 2)p — COS2J:

ou, sous une autre forme,

(il) dnii = i — 8ïjsin*x> r — '- — - — -.

^ ' ^ I — 2(7*"-^* COS2X -f- ly*"-*-*

1325. Développons enfin la fonction tni/, dont les infinis sont

^^ LITIB VI. — CDAP. IV, 5 "'«-

donnés par la formule Si Ton pose

'j z=zz-i- 'im -r- TK -4- 2/i/K. 9

on aura ^^^^

Donc

tnit

Or nous avons trouvé [1216, Ij

= — p*^™2'~''' 2 II — ^2m-f-i;K — ait/K'

tang*=2

, (a/Il -h i' 5

En faisant donc

i:[>m-hi;K-;i/-2/i.K' : = (îi«-^-i) ^ — ^

on aura

[ =utang3.

tf — (am -f- i)K — 2mR

d'où, en melUnt pour z sa valeur a: — ^nip.

«=|7 2(-i)»tangix-a/i/o)

Si Ton groupe ensemble les termes d'indice égal et opposé, il viendra

[il]

tn« = p tangx + 2 sin2J:2< Ch4«p + cos^xj '

ou encore

tang x + 4 sin ax2 7:^1» cosax -t- g*" 1 ' 1326. A l'aide des formules précédentes, il est aisé d'obtenir

des relations entre le rapport -— = — p des deux périodes K, iK'

des fonctions elliptiques et les constantes k et K, et par suite aussi les constantes complémentaires V^ K'. Si dans la formule (3) [1322] on fait

tt = K-i-/K', ou x= h^P,

on en tire immédiatement [1318]

I ^ V^ ' TT 'Tl I

'k'~'k2L . iTz \ """ 2KX 2d Ch a n

, sm ( 2«/pj

ou, en groupant les termes deux à deux

formule qui donne la valeur du quadrant elliptique K, exprimée en fonction de |0 ou de ^.

En faisant, dans la même formule (3),

il vient

^~"k 2d Vt, , .. 1 "" 2KA- ^€11*2/1 -4- i)p

. sin (2/14-1)10

d'où l'on tire

Ch ( 2 // -t- I j 0 K ^mà \ -ir q

î/f-Hi

Si Ton avait fait u = j:= o dans la formule (7) du n** 1323, on aurait eu de même

+ 00 -f-ae

/A- ^sin(2/i -h i)/o A: ^ Sh(2/i -t- i)p

aO{ LIVRE VI. — CHAP. IV, § IV.

I /identité des deux valeurs (i5) et (i6) montre que la fonction

flO

est une fonction paire de ij.

Ainsi la connaissance de p ou de ^, c'est-à-dire du rapport —

des périodes des fonctions elliptiques, déternoiine sans ambiguïté les constantes K et h,

La réciproque ne serait pas vraie; car, pour une même valeur de /r, on peut prendre, pour former les périodes de snuaulieu de K et de aïK^ les expressions plus générales

jft-:(4a-f-i;K-h2v/R', et p serait remplacé par la quantité

fji, V, \t! y v' étant quatre entiers assujettis à la seule condition de satisfaire à Tégalité

§iv.