DÉVELOPPEMENT EN PRODCITS INFINIS

L'intégrale f '^'"^/^^^ [1214] devient ici

r ddnxt r snucnu ch

et, si Ton prend pour contour de ;2l une ligne symétrique par rapport à Torigine, cette intégrale sera nulle.

Nous choisirons pour aire celle d'un rectangle ayant son centre à Torigine, et dont les côtés soient parallèles aux axes et ne passent par aucun des zéros ni des infinis de la fonction. Les zéros qu'il renfermera s'obtiendront en faisant varier m depuis — ni — i jusqu'à -h m, et n depuis — n — i jusqu'à •+•71 [1215]; pour les infinis, on fera varier n entre les mêmes limites et m depuis — m jusqu'à -\- m.

Cela posé, la valeur de dna prendra la forme

éïiu = liin

ll| ' (2/;/-hi)K-f-(2^?H-i)/ieJ 11 L^"" 2mK -f-(2/i-f-i)/K'J

le produit supérieur s'étendant à tous les zéros, et le produit inférieur à tous les infinis contenus dans l'aire J?l. Traitons séparément ces deux produits.

Nous avons trouvé [1216]

cos f.r — XaI ,.

= lim

cos JCq m = «û

Si l'on pose

le numérateur de dnii deviendra

(.) lim TT

cos[x — (2/14- i)if\

n=-o COs(2/H-l)/p

2o6 LIVHB VI. — CHAP. IV, § IV.

En groupant ensemble les termes symétriques par rapport à roii gine, on a

cos[.r — (a/î-h i)'|!)] co.sf.r 4- (2« -h i)/|9] sin*.r

COS(2«-hl]/p COS(2/l H- l)/o COS* ( 2 /I -4- I ] / 0

Le numérateur de dnuj que nous représenterons provisoiremenl par Q^[u), aura donc pour valeur

e»{")-n['-ch'(r'+.i.o]

expression dont la convergence est évidente [1213].

aura, en écrivant au bas du signe II l'indice — rn au lieu de — m — I, ce qui est permis [1323],

Slll./'n „,« XX I

-m \ .ro-^2m ~

Donc, d'après les notations ci-dessus, le dénominateur de dn« deviendra

2 — lim I I : '—'

En groupant ensemble les termes symétriquement placés, on obtient, pour l'expression du dénominateur de dnK,

/ X XT r sin'.r "1

e(«)=nL'+shî(5TTTj:oJ

1328. La fonction paire cnu a pour zéros simples les valeurs

et ses infinis sont les mêmes que ceux de dnu. En intégrant suivant le contour du même rectangle que tout à l'heure, on verra