JJ

Sin -r -i- j-« — •m/ 0

iin Jo — int

Groupons, dans ce produit, les facteurs deux à deux ; on aura, en mettant à part le facteur correspondant à /i = o, le numérateur

- égal a

so^o

sin ' -r -+- jr^ sia^o

nr sin*:.r-4-Xo) I L'^ sh'..p J

Or il est facile de voir que, si Ton fait tendre Uq vers zéro le rapport

sni/o sniTo

siuxq sini; //q

tendra vers la limite -• Donc le numérateur de sn(a -+- Mo)? lorsqu'on y fait u^ = o, devient égal à

f \ ' . TT / sin'.r \

Le dénominateur de snu est encore la même fonction 0(ii) que pour les développements précédents.

Le développement de tnu= se tirera immédiatement des

deux précédents.

1330. D'après ce que nous venons de voir, les fonctions elliptiques snu, cni/, dnu, tnu s'expriment au moyen des quatre fonc-

PONCTIONS e.

lions synectiques

ao9

e.(«)=lsinxn(, + ^.'^)

e.(«) = cos..n(,--^),

I Slfl J? I

e.(«)=n['-ch'(.n+.rpr

qui sont, à des facteurs constants près, les quatre fonctions 5 de Jacobi, et Ton a ainsi les formules

ir © ( « )

!>.K.r 0jfi/) cnii = en = — ^ - ,

2Kx e,(a)

tnii r= tn

ir e,(tf)

Les formules (a5) du n*» 1317 donnent, par conséquent,

snc

«=sn — I x]=z -^—^9

cnca = en — ( a:]=z A ~:

dQCK = an — x) = X' - \ ,

TT \2 / e,(w)