COS2/I

Si, dans la formule (4), on convient de remplacer le facteur correspondant à /i = o par — ïj, et qu'on multiplie et divise par le facteur

sin [jr -f- .ro -H ( 2 /i -f- 2 ) / p I sin[a:^ 4- (2/14-2)//)] ~

an

on aura, en faisant Xq = o.

^ f \ i:tv TT sîn(.r— 2/î/o) ^ ' -■--■- Sin2AI/p

De cette manière, les quatre fonctions 0 seront déterminées par les formules

COS

e (K) = lim TT —

— n-1 COS

e,(u)=e"lim TT —

„, COS

Lr-h^-(a/H-i)*>|

e,(w) = e''lim Jl ^ — —, — ^',

COS 2 /// 0

e,(«) = lim JJ

!Os[.r — (in -h i)ip] COS (2/1 -f- l)/p

où Ton pourra, pour abréger, omeltre le mot lim. Si Ton pose, en général,

-<-« COS .r H- u - — ( 2 w -h 1 ~ V

(,o) e,.,(„) = «.'-«lin.JJ — '---—^ .

-„, COS .U (2« -hl — v)/o

les quatre fonctions (9),

e(tt), ei(«), 0,(tt), 03[tt),

pourront être représentées respectivement par les notations

ei.o(«), e,.,(a), eo,,(«), eo,o(«),

de sorte que les indices simples

équivaudront aux doubles indices

(>>*>). (ïiOt (<>'0» (<>»o).

aia LIVAB VI. — CHAP. IV, s IV.

1332. Propriétés des fonctions 0. — Considérons la forme générale

i,, cos f*-— (a«^i — v)fp

Si Ton fait varier les indices entiers u, v, il est aisé de voir que les valeurs obtenues seront toujours les mêmes que les quatre valeurs précédentes, qui correspondent à fi et v égaux à o ou à i .

En effet, si Ton change u en /ji + a^ chacun des arcs, au numérateur et au dénominateur, augmente de ir, et, par suite, le quotient

ces

cos

n*aura pas varié. Donc

Si l'on remplace maintenant v par v + 2, Tare de chaque cosinus varie de aip, ce qui revient à changer n en n — 1. Le dernier facteur, à la limite supérieure, est ainsi remplacé par

cos j X -h ,u {/in — I — V ) / p I

cos lu- — ( 2/î — I — ^ ) 'p 1

cos

et le dernier, à la limite inférieure, savoir

Lr+u- -h(2/H-3-4-v)/pj cos IL - H- (2/1 -h 3 -h v)/p j

est remplacé par

cosl X -4- f* - -»- (2/î -h 5-1- v)/|!) I

cos

PROPRIETES DES FONCTIONS 6. 2l3

Donc le produit TT se trouvera multiplié par

cosi x4- /A--t- (2/? -+- 5 -4- vj/p I cos /A (2/1 -t- I — v)'p I

COsI J:-t-ft (2/1-f- I — v)/p cos fx — h (2/1 -i-54- v)/p I

expression qui tend, pour n Infini, vers la limite

Or, par le changement de v en v -|- 2, le facteur c**», en avant du signe n, sera en même temps multiplié par c^"'. Donc le produit total n'aura pas changé de valeur, et l'on aura ainsi

On pourra donc, sans dimiuuer la généralité de la fonction 6^,v> la ramener toujours aux quatre formes considérées dans les numéros précédents.

1333. On voit immédiatement que les trois fonctions 04,0» @o,u @o,o sont paires, tandis que la fonction ®\^\ est impaire. On aura donc, en général,

(n) e^.,{-«) = (-i)i^vej„v(«).

Les facteurs du produit TT étant en nombre pair, on ne change

pas le signe du produit lorsqu'on augmente x de tt, ou u de 2K, ce qui ne fait que multiplier chaque facteur par — i . Le facteur e*'-^ se trouve multiplié par e*'* = ( — i)"*. Donc

(12) ej.,v(«-J-2R)=:(-l)^0^,,(l/).

Augmentons maintenant u de 21K', ou x de 2ip; le produit TT

— rt-i sera multiplié par un facteur de la forme

cos[X -+-(«4- 3)£p] cos[X — «/pj

2l4 LIVHE VI. — CHAP. IV, § IV.

dont la limite y pour n infini, est e"^'^^'*"'?^ Le facteur é*^ est multiplié par e-**». Donc

On a, pour fx = i , e""^ = — e"*'', et pour /x = o, e-*'*^ = -he~'". Donc

(î3) e,.,(ii-+-2iK') = (-i)>*^«''-*ee,..(ii) = (-i)^— -e^,.(«).

En appliquant cette formule à chacune des quatre fonctions 6, on aura les égalités

e[u 4- 2/K^) e, (tf 4- a/KM 0^(1/ -^ iK^) €^Ju-^iYJ\ (»4) i

Cela montre que les fonctions 0 ne sont pas périodiques relativement à aïK'; quand on augmente de cette constante l'argument Uy ces fonctions se reproduisent à un facteur exponentiel près.

1334. Si dans 0^ „ on remplace u par li -f- K, ou x par x -+- -> il viendra

./ «N ■^" cos x + (a-f-i) ' — (a/î -h I — v)/p I

COS

En comparant cette valeur à celle de ©j^+i.v» oi^ voit qu'elle n'en

diffère que par le facteur constant e * et par le dénominateur ,

qui est pareillement constant. Donc le quotient — ^^— est

constant, ce qui donne les deux relations

, , — - = const., -^ r— ' = consl.

Pour obtenir les valeurs de ces constantes, nous remarquerons d'abord que, les deux fonctions 0 et ©3 prenant la valeur i pour

PROPRIETES DES FONCTIONS B. aiS

a = o, le rapport -^-^-— — :— doit se réduire, pour u — o, à 03(K), et, pour u = — K, à — /-r.i* De plus, à cause de

on en conclut

Enfin

sn K. =ir — = I ,

dnK= ??iii^ = [»,(K)]'= A'.

et par suite-

^ ^ »'£/j — H, Iv; *

ou encore

/ HjK~/f] hJK — 1/] -jj

Ainsi, quand on remplace u par son complément K — ii, ou x

par Xy les fonctions 0 et ©j, 0« et 02 s'échangent entre elles,

à un facteur constant près.

1335. Si l'on remplace maintenant u par u + iK', ou x par a:-hip, on a

cns( .r — nn/'o]

^ ' M.M cos;?.// -h i;/p

" cos(j:4-- — ^^'p]

e(«4-/K'):= Jj ^

-„i ros - — (a/ï -4- i)/p

ai6 LIVRE VI. — GHAP. IV, § IV.

Donc les rapports

sont constants.

En faisant u := o, puis u = — iK', on trouve que le premier de ces rapports est égal à

et le second à

L'égalité

donne

<ff

e,(tK') = /e,(iK').

D'ailleurs, si dans l'égalité [1330]

on fait u = — ïK', il viendra [1318]

De là résultent les égalités

(i8) e,(»R') = c»V'<-, e.(/K')=î^, ©,(JK')=~, d'où l'on conclut les suivantes :

En remplaçant u par u — t'K' dans les formules ( i4) du n' 1333 et dans celles que nous venons d'écrire, nous obtiendrons les relations

( 9,{u + iYJ) ^ -e.(»i-/K') ^

PROPRIÉTÉS DBS PONCTIONS O. 317

On tire de là

Ainsi, quand on ajoute iK' à Targument u, les fonctions 0 et 64, ainsi que les fonctions 0a et 63, s'échangent entre elles, à un facteur exponentiel près.

De ces diverses relations il résulte que les quatre fonctions 0 peuvent s'exprimer au moyen d'une seule d'entre elles, de ©j par exemple. On a, en effet,

(22) I e,(«) = -^^^-''-^e, (KL -f-/K'- II),

e,(ii) = 4= e-'''-^e3(/K'- II).

1336. On peut déduire de là les valeurs du module k et du

quadrant K en fonction de p ou du rapport . des deux périodes

des fonctions elliptiques.

En faisant u = iK' ou x = ip dans la valeur (5) de 0s(«) [1330], il vient

i*)=nha?(l^]

ou, en vertu de l'égalité Ch»(T+ Sh*p = Ch((j-hp)Ch((T — p),

« liKn -TT Ch(a^ + a)pCli7»p J- (.-t-?»»-^') (! + ?'")

»>('«- J-J.1 ch'(«/H-i)p -11 (n-5«'.^i)« '

ou enfîn, en introduisant au numérateur le facteur i •+- y^""*"', égal à l'unité pour n infini, et faisant sortir du signe II le facteur

!»l8 LIVBB VI. — CHAP. IV, § IV.

Donc, en vertu des formules du numéro précédent, on a

La formule (i5) du n® 1334 donne immédiatement

(.5) VX-e.;K) = n(7T-î'^)

Elle donne encore Téqiiation

Par la combinaison de ces formules, on peut en obtenir un grand nombre d'autres, dont quelques-unes nous seront utiles plus tard.

Si nous posons, pour abréger,

Im=JJ (.+,"•). M'=JJ(i + 9»-^'), (*7) \

on aura d'abord

MM'=];j(. + r), NN'=J](,-7«),

d'où

MM'NV=: JJ (1 — q^") — N,

d'où résulte la relation

(28) MM'N' = ï.

Des relations (24), {'^^)y (^6)» mises sous la forme

2J^ Br« J[ __ M* ^ __ M*

PB0PRIKTÉ8 DES FONCTIONS B. aiQ

un tire

vÂj' ~ îi'"" «'" y/y

d'où

, On a encore ,, , I M'N M'N.MM'N' „„^ ' , , ..,, ...

1337. Nous avons obtenu, dans le numéro précédent, les développements des fonctions 6 en produits simples, en commençant par grouper ensemble les facteurs correspondants aux points critiques situés sur une même ligne horizontale. En commençant par grouper les facteurs dans un autre ordre, on obtiendra d'autres fonctions 0', jouant les mêmes rôles que les fonctions 0, mais de forme différente.

Considérons de nouveau le double produit [1327]

et posons cette fois

1]'=-^» x'=r/u, p'=VK., ,v^=ir/{iim-^i]K=[im-hl)p',

La fonction 03 (u) prendra la forme

(i' lu]=i n c^s/[y — (?.m-f- !)/]__ |-|- Ch[.r^— (a/yi-hpp^] ^*^ ^ 11 cos(2/ii-f-i)/>' 11 Ch^?.m-f-"7]7

-fjf 8in«£*' 1 — Tir SbVr^ 1

En comparant cette valeur avec celle que nous avons précédemment obtenue pour le même double produit, on voit que Texpres-

sion de ®\{u) est ce que devient celle de 0j(u) lorsqu'on y remplace a: et p par ia/ et p\

Si Ton change maintenant u en u -h K, ou a/ en x'-h p'f en faisant

il viendra

^ ' IX cos2/n(p' ■'••'• \ cas,* 7. mi p' J

=°"'n("+ct'^)-

Donc &[u) est égal à la valeur de 6, (a), dans laquelle on remplacerait a: et p par iocf et p'.

Le double produit

Alm,«L' ~ (2/y*-4-i)K.H-2mK'J peut s'écrire sous la forme

-i. cos[^-(.m + i)^:j ii sin(.m + 0.y

"" 11 L' sin«(2m-+-I)^yJ~'llL' Sli*(2m-hi)p'J'

Donc &^[u) est égal à ce que devient @(u) par le changement de Xy p en ix^y p'.

Si Ton considère enfin le numérateur du développement de

FONCTIONS e'.

aai

?5lîî ^ , en y introduisant a/ et p', il vient

sntto

-r-+- -r- — 2/II r- — 2/1-