I JET -\- .T I

■^'w sin-(^'-f- J^o— 2/np') sin r^ • sin- (i/-f- x^— 2/w/)')

sin-r (x'^j — 2mp')

sm-r^ 1 sin - (xç — 2/wp )

d'où Ton conclut, comme plus haut,

(34) e'.(«) = JLsin^vïrf,- ."f'-^' \ = .Lshx'TT(,--g!fl\

La fonction 0'j(m) est donc, à un facteur constant près, ce que devient ©i (u) lorsqu'on y change a:, p en iod ^ p'.

On peut encore donner à ces formules une forme analogue à celle des formules (9) du n^ 1331, savoir.

e'(i£)=^-''lim JJ

■♦"'" COS

cos 2 mtp'

e\[u)=e-''\im Yl

I IX H 2/W/p j

-m-1 COs( 2/w/p'j

COS

e',(«)= lim JJ

)'yj

-,„-i ces -— (2m -+-I iim TT <^Qs[iV-(a/ii-f-i)/y]

— in-l

cos(2/w4- l)ip'

en se rappelant que, dans la valeur de 6'^ {ai), on est convenu de remplacer, pour m = o, le facteur cos( 2mip'\ par la valeur

220 LIVRB VI. ^ CBAP. IV, % IV.

sion de 3',(u) est ce que devient celle de Gs(ii) lorsqu'on j remplace X et p par î j/ et p^

Si Ton change maintenant u en u + K, ou a/ en a/+p'>en faisant

il viendra

e' Il =1 I i^ __îLi=cos/x' Mil z —]

Donc d'(u) est égal à la valeur de 6s(u),dans laquelle on remplacerait a: et jo par ixf et p'.

Le double produit

( 2/lH- l) K. -I- 2/<4

ir]

peut s'écrire sous la forme

— — (aw-f-il'-r — 2/y- — 2m-i-im — 2/1 —

COS| -.-Hil— (2W-|-l)2-

;„1 COS

[^-(am + ,)^J

nsin/[>r — ('xm-hi'o] sin(2/n-f-i)io'

L' sin*(2/»-+-i)/yJ~llL' Sh«(2m-+-i)pJ

Donc &^{u) est égal à ce que devient &{u) par le changement de Xy p en ia/f p'.

Si Ton considère enfin le numérateur du développement de

FONCTIONS e'.

—^ ^ > en y introduisant x' et p', il vient

sn tto

« 4- «0 — 2mK — 2/i/K'

-T-l-rr — 2fff*-r — 2/1-

+ '« sin-(u;'-f- J^o— 2/»/}') sin

sin-(a:ç — 2/np')

sin-(r'-f- j:^— 2/np')

sin ~ 1 sin - (*o— a/wp' )

d'où Ton conclut, comme plus haut,

La fonction ©'^(u) est donc, à un facteur constant près, ce que devient Q* (u) lorsqu'on y change x, p en ia/^ p'.

On peut encore donner à ces formules une forme analogue à celle des formules (g) du n^ 1331, savoir,

cos(/x' — a/w/p')

s' lu) =: e'' hm II — • •/

-♦-»» ces

e',(«)=e-^'liin JJ

(îjc' H 2 /ni o' I

-.,„«i ces

■*-'" COsIi-t'h (2IIÎ -l-i)/p' I

lim fl — ' ^ '

-m-i cos -— [im 4-1)//)' +1»

e',(«)= limJI-

COS [/ x' — ( a /If -f- 1 ) '',0' ] cos (2/» 4- ijip'

en se rappelant que, dans la valeur de 6'^ (^), on est convenu de remplacer, pour m= o, le facteur cos( 2mip'\ par la valeur

aaa LIVRE VI. — CHAP. IV, § IV.

On se rappellera que les quantités yj, x, p, y, n'y ^j p'> rf 4"* entrent dans ces formules sont données par les relations

(,=4-, a:=iî«, p==iîK% ç=^-*N

d'où Ton tire

1338. Si Ton pose généralement, comme au n? 1331,

J fz ( 2 /«H- I — ^ ) ' P I

0;,,(i*) = ^-'lim JJ

on trouvera une série de relations semblables à celles que nous avons établies pour la fonction 0pi,v(")« On aura d'abord les égalités

qui diffèrent de celles du n? 1331 par l'échange des indices p, v. Il viendra ensuite

( e;,.(-«) r-(-ire;,(«),

(39) I e;..(a-f- 2/K') =: (- ire;.,(tt),

1339. Nous allons chercher maintenant la relation qui existe entre les valeurs des fonctions 0^,, et 0^,^, qui jouent le même rôle dans les expressions (6) [1330] des fonctions elliptiques sn«, cnii, dnii, tnw, et dont les valeurs doivent être nécessairemenl proportionnelles .

Désignons par <{/(u) la valeur commune des quatre rapports

•■ : , ou — — •

RELATIONS ENTRE LES B ET LES S'. ll'S

Cette ionction est paire. De plus, elle ne devient ni nulle ni inliniepour aucune valeur finie de u, et se réduitàTunitépour a =o. En vertu des formules des n°* 1333 et 1338, on a

•>(« -+-2K) =tf»-''-»-V.;,(tf), d'où Ton tire

et par suite

l4«) D«log^(« + 2K) = DjJlog.>(a-t.2/K') = Dîlog^(£/).

La fonction ^{u) étant uniforme et continue pour toute valeur de M, il en sera de même des deux fonctions

De plus, les égalités (4i) expriment que la fonction Hllog^^u) est doublement périodique, et, par conséquent, elle est encore finie pour u = 00 . Donc, d'après ce que nous avons démontré au n? 1 137, elle se réduit à une constante.

On doit donc avoir, en intégrant,

DMog.Kii)=a, Du\og^(u) = aU'h If,

a et b étant deux constantes. Mais la fonction D«log({'(u), étant

la dérivée logarithmique d'une fonction paire, est elle-même une

fonction impaire [288], et, par suite, la constante b est nulle.

On déterminera maintenant a en observant que, d'après les

équations {4o)i aux accroissements 2K, 2iKMe u correspondent

les accroissements 2iq^ 2iyi de Dulog^(u), accroissements qui, en

vertu de l'équation

DJog^[u) = au,

doivent être respectivement égaux à 2aK, smK'. De Tune ou de

aa4 LIVRE TE. — GHAP. IV, % IV*

Tautre de ces conditions on tire

Donc