TRIQUES. FONCTIONS B

1341. La fonction ©^^^(u) dépend de l'exponentielle

•lîf

elle est uniforme et continue pour toute valeur de cette variable f , car elle reste finie pour toutes les valeurs de t autres que celles qui rendent t infini, et elle admet, comme t, la période 4K. Donc, en vertu du théorème de Laurent [1148], cette fonction est développable, pour toutes les valeurs de t, depuis zéro jusqu'à Tinfini, en une série infinie dans les deux sens, et procédant suivant les puissances entières, positives et négatives de t.

Nous avons vu [1333] que, lorsqu'on remplace u par « -H aK, t se changeant en — f, ©^ „(a) est multiplié par ( — i)% de sorte que l'on a

Donc, si V = o, ©^^ ^ sera une fonction paire de t, et son développement ne contiendra que des puissances paires de cette variable; si V = I , ©j4 4 sera une fonction impaire, et son développement ne contiendra que des puissances impaires de t. La série sera donc généralement de la forme

La fonction ©^,(zi) élant réelle pour les valeurs réelles de x et de y, les coefficients Um. et a^^^^y correspondants à deux puissances égales et opposées de e'-^, devront être égaux entre eux en valeur absolue.

Connaissant maintenant la forme du développement, il ne reste plus qu'à déterminer les coeflicients, ce que nous pourrons faire par la méthode des co'efficients indéterminés.

1342. Nous allons commencer par développer la fonction 0o,o(^)

B ^ Coars de Cale, i/t/nit., IV. 1 5

OU 0s(u), et de son développement nous tirerons aisément les développements des trois autres, en nous appuyant sur les formules des n°« 1334 et 1335.

D'après ce que nous venons d'établir, le développement sera de la forme

— « Si l'on change u en u -+- aïK', on aura [1333]

ou, en introduisant q = e'^p,

En égalant de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances de e*^, on aura, en général,

d'où Ton tire successivement

Donc

ej(tt) — ae\g'"*e*'"i''-aJ 1 + 2 2)7'"'cosam.îr

On a ensuite [1334, (i6)], en changeant u en k -4-. K.,

TT

en X 4- - ^